다항함수 극한 결정

[출제의도] 함수의 극한 성질을 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 조건 (가)에 의하여 다항함수 $f ( x )$는 최고차항의 계수가 $2$인 이차함수이다. $\cdots$① 조건 (나)에 의하여 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{f \left( x \right)}{x ^{2} + x}} = - 1$에서 극한값이 존재하고 $x \rightarrow 0$일 때, (분모)$\rightarrow 0$이므로 (분자)$\rightarrow 0$ 즉 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {f ( x ) = f ( 0 ) = 0}$ $\cdots$ ② ①, ②에 의하여 $f ( x ) = 2 x ^{2} + ax$라 하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{f \left( x \right)}{x ^{2} + x}} = \lim\limits _{x \rightarrow 0} {\frac{x ( 2 x + a )}{x ( x + 1 )}} = a = - 1$ 즉 $f ( x ) = 2 x ^{2} - x$ 따라서 $f ( 3 ) = 15$