다항함수 극한 결정

[출제의도] 함수의 극한을 이용하여 추론하기 조건 (가)에서 함수 $\left\{ f ( x ) \right\} ^{2} g ( x )$의 차수가 $\mathrm{5}$이므로 두 함수 $f ( x )$, $g ( x )$는 아래의 경우 중 하나이다. (ⅰ) $f ( x )$: 상수함수, $g ( x )$ : 오차함수 (ⅱ) $f ( x )$: 일차함수, $g ( x )$ : 삼차함수 (ⅲ) $f ( x )$: 이차함수, $g ( x )$ : 일차함수 조건 (나)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{f ( x ) \left\{ g ( x ) \right\} ^{2}}{x ^{5}} = 2$이고 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} x ^{5} = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} f ( x ) \left\{ g ( x ) \right\} ^{2} = 0$ 그러므로 어떤 다항함수 $h ( x )$에 대하여 $f ( x ) \left\{ g ( x ) \right\} ^{2} = x ^{k} h ( x )$ (단, $k$는 자연수, $h ( 0 ) \neq 0$) 이때 $k < 5$이면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{f ( x ) \left\{ g ( x ) \right\} ^{2}}{x ^{5}}$의 값이 존재하지 않고 $k > 5$이면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{f ( x ) \left\{ g ( x ) \right\} ^{2}}{x ^{5}} = 0 \neq 2$이므로 $k = 5$ 그러므로 $f \left( x \right) \left\{ g \left( x \right) \right\} ^{2} = x ^{5} h \left( x \right) \left( h \left( 0 \right) \ne 0 \right)$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ (ⅰ) $f ( x )$ : 상수함수, $g ( x )$: 오차함수인 경우 다항식 $f ( x ) \left\{ g ( x ) \right\} ^{2}$에서 오직 $g ( x )$만이 $x$를 인수로 가지므로 ㉠을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $f ( x )$ : 일차함수, $g ( x )$: 삼차함수인 경우 ㉠을 만족시키기 위해서는 $f ( x ) = a x$, $g ( x ) = x ^{2} ( b x + c )$ (단, $a$, $b$, $c$는 음이 아닌 정수, $a \neq 0$, $b \neq 0$) (ⅲ) $f ( x )$ : 이차함수, $g ( x )$: 일차함수인 경우 다항식 $f ( x ) \left\{ g ( x ) \right\} ^{2}$의 차수가 $\mathrm{4}$이므로 ㉠을 만족시키지 않는다. (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 두 함수 $f ( x )$, $g ( x )$는 $f ( x ) = a x$, $g ( x ) = x ^{2} ( b x + c )$ (단, $a$, $b$, $c$는 음이 아닌 정수, $a \neq 0$, $b \neq 0$) 조건 (가)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \frac{\left\{ f ( x ) \right\} ^{2} g ( x )}{x ^{5}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \frac{a ^{2} x ^{4} ( b x + c )}{x ^{5}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \left( a ^{2} b + \frac{a ^{2} c}{x} \right)$ $= a ^{2} b = 4$ 조건 (나)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{f ( x ) \left\{ g ( x ) \right\} ^{2}}{x ^{5}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} \frac{a x ^{5} ( b x + c ) ^{2}}{x ^{5}}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0} a ( b x + c ) ^{2}$ $= a c ^{2} = 2$ $a ^{2} b = 4$, $a c ^{2} = 2$를 만족시키는 음이 아닌 세 정수 $a$, $b$, $c$는 $a = 2$, $b = 1$, $c = 1$ 그러므로 $f ( x ) = 2 x$, $g ( x ) = x ^{2} ( x + 1 )$ 따라서 $f ( 2 ) + g ( 2 ) = 4 + 4 \times 3 = 16$