다항함수 극한

$\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} \frac{f \left( x \right)}{x ^{2} + 3 x - 4} = 2$에서 다항함수 $f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $2$인 이차함수이므로 $f \left( x \right) = 2 x ^{2} + ax + b$ ($a$, $b$는 상수) 로 놓을 수 있다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{f \left( x \right)}{x ^{2} + 3 x - 4} = - 1$에서 $x \rightarrow 1$일 때, (분모)$\rightarrow 0$이므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. 즉, $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} f \left( x \right) = 0$에서 $f \left( 1 \right) = 0$이므로 $2 + a + b$$= 0$, $b = - a - 2$ 따라서 $f \left( x \right) = 2 x ^{2} + ax - a - 2$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{f \left( x \right)}{x ^{2} + 3 x - 4}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {} \frac{2 x ^{2} + ax - a - 2}{\left( x - 1 \right) \left( x + 4 \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{\left( x - 1 \right) \left( 2 x + 2 + a \right)}{\left( x - 1 \right) \left( x + 4 \right)}$ $\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} \frac{2 x + 2 + a}{x + 4}$ $\displaystyle = \frac{4 + a}{5}$ $\displaystyle \frac{4 + a}{5} = - 1$에서 $a = - 9$ 따라서 $f \left( x \right) = 2 x ^{2} - 9 x + 7$이므로 $f \left( 0 \right) = 7$