미적분Ⅰ미분계수와 도함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

다항함수 도함수 값

문제

함수 f(x)=∑n=110xnn\displaystyle f ( x ) = \sum\limits _{n = 1} ^{10} \frac{x ^{n}}{n}에 대하여 f′(12)=qp\displaystyle f' \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{q}{p}일 때, q−pq - p의 값은? (단, pp와 qq는 서로소인 자연수이다.) [3점] ①508508②509509③510510④511511⑤512512

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④

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해설

f(x)=x+x22+x33+⋯+x1010\displaystyle f ( x ) = x + \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} + \cdots + \frac{x ^{10}}{10}이므로 f′(x)=1+x+x2+⋯+x9f' ( x ) = 1 + x + x ^{2} + \cdots + x ^{9}이다. f′(12)=1+12+122+123+⋯+129=1−12101−12\displaystyle f' \left( \frac{1}{2} \right) = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2 ^{2}} + \frac{1}{2 ^{3}} + \cdots + \frac{1}{2 ^{9}} = \frac{1 - \frac{1}{2 ^{10}}}{1 - \frac{1}{2}} =210−129=1023512\displaystyle = \frac{2 ^{10} - 1}{2 ^{9}} = \frac{1023}{512} ∴q−p=1023−512=511\therefore q - p = 1023 - 512 = 511

태그

#도함수#등비수열의 합

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