공통수학2명제AI아주 기초 (2점~3점 초반)

대우를 이용한 증명에서 보여야 할 명제

문제

명제 ‘자연수 $n$ 에 대하여 $n ^{2}$ 이 짝수이면 $n$ 은 짝수이다.’를 대우를 이용하여 증명하려고 한다. 이때 참임을 보여야 하는 명제는? [2점] ①자연수 $n$ 에 대하여 $n$ 이 짝수이면 $n ^{2}$ 은 짝수이다.②자연수 $n$ 에 대하여 $n$ 이 홀수이면 $n ^{2}$ 은 홀수이다.③자연수 $n$ 에 대하여 $n ^{2}$ 이 홀수이면 $n$ 은 홀수이다.④자연수 $n$ 에 대하여 $n$ 이 홀수이면 $n ^{2}$ 은 짝수이다.⑤자연수 $n$ 에 대하여 $n ^{2}$ 이 짝수이면 $n$ 은 홀수이다.

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②

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해설

명제 ‘ $p$ 이면 $q$ 이다.’의 대우는 ‘ $q$ 가 아니면 $p$ 가 아니다.’이다. $p$ : $n ^{2}$ 이 짝수이다, $q$ : $n$ 은 짝수이다 이므로 $q$ 의 부정: $n$ 은 홀수이다, $p$ 의 부정: $n ^{2}$ 은 홀수이다 따라서 보여야 하는 명제는 ‘자연수 $n$ 에 대하여 $n$ 이 홀수이면 $n ^{2}$ 은 홀수이다.’이다. (명제와 그 대우의 참, 거짓은 항상 일치하므로 대우가 참이면 원래 명제도 참이다.) ②

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