대우를 이용한 증명

다음은 ‘자연수 $n$에 대하여 $n ^{2} + 2$가 $3$의 배수가 아니면 $n$은 $3$의 배수이다.’를 증명한 것이다. [증명] 주어진 명제의 대우 ‘자연수 $n$에 대하여 $n$이 $3$의 배수가 아니면 $n ^{2} + 2$는 $3$의 배수이다.’가 참임을 보이면 된다. $n$이 $3$의 배수가 아니므로 (ⅰ) $n = 3 k + 1$($k$는 정수)일 때, $n ^{2} + 2 = ( 3 k + 1 ) ^{2} + 2$ $=$ (가)

그러므로 $n ^{2} + 2$는 $3$의 배수이다. (ⅱ) $n =$(나) ($k$는 정수)일 때, $n ^{2} + 2 = 3 ( 3 k ^{2} + 4 k + 2 )$ 그러므로 $n ^{2} + 2$는 $3$의 배수이다. 따라서, (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 ‘자연수 $n$에 대하여 $n ^{2} + 2$가 $3$의 배수가 아니면 $n$은 $3$의 배수이다.’ 는 참이다.

위의 증명에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [3점] (가) (나) ①$( 3 k ^{2} + 2 k )$ $3 k + 2$②$3 ( 3 k ^{2} + 2 k )$ $3 k$③$( 3 k ^{2} + 2 k + 1 )$ $3 k$④$3 ( 3 k ^{2} + 2 k + 1 )$ $3 k$⑤$3 ( 3 k ^{2} + 2 k + 1 )$ $3 k + 2$