확률과 통계순열과 조합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

대소 조건 함수 개수

문제

전체집합 $U = \left\{ x | x \text{는} 6 \text{이하의} \text{자연수} \right\}$ 의 두 부분집합 $A = \left\{ 1 , 3 , 5 \right\} , B = \left\{ 2 , 4 , 6 \right\}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 함수 $f : U \rightarrow U$ 의 개수를 구하시오. [4점]

(가) $x _{1} \in A , x _{2} \in A$ 인 모든 $x _{1} , x _{2}$ 에 대하여 $x _{1} < x _{2}$ 이면 $f ( x _{1} ) \geq f ( x _{2} )$ 이다. (나) $x _{1} \in B , x _{2} \in B$ 인 모든 $x _{1} , x _{2}$ 에 대하여 $x _{1} < x _{2}$ 이면 $f ( x _{1} ) < f ( x _{2} )$ 이다. (다) $x _{1} \in A , x _{2} \in B$ 인 모든 $x _{1} , x _{2}$ 에 대하여 $x _{1} < x _{2}$ 이면 $f ( x _{1} ) < f ( x _{2} )$ 이다.

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[출제의도] 수학내적문제 해결능력-순열과 조합 조건 (가)에 의하여 $1 \leq f ( 5 ) \leq f ( 3 ) \leq f ( 1 ) \leq 6$ 조건 (나)에 의하여 $1 \leq f ( 2 ) < f ( 4 ) < f ( 6 ) \leq 6$ 조건 (다)에 의하여 $f ( 1 ) < f ( 2 )$ 이므로 $1 \leq f ( 5 ) \leq f ( 3 ) \leq f ( 1 ) < f ( 2 ) < f ( 4 ) < f ( 6 ) \leq 6$ 이 성립하고 $f ( 1 ) \leq 3$ 이다. (ⅰ) $f ( 1 ) = 1$ 일 때, $f ( 5 ) = f ( 3 ) = f ( 1 ) = 1$ 이고, $f ( 2 ) , f ( 4 ) , f ( 6 )$ 의 값을 택하는 경우의 수는 ${} _{5} C _{3} = 10$ 이므로 조건을 만족시키는 함수 $f$ 의 개수는 $1 \times 10 = 10$ (ⅱ) $f ( 1 ) = 2$ 일 때, $f ( 3 ) , f ( 5 )$ 의 값을 택하는 경우의 수는 ${} _{2} H _{2} = _{3} C _{2} = 3$ 이고, $f ( 2 ) , f ( 4 ) , f ( 6 )$ 의 값을 택하는 경우의 수는 ${} _{4} C _{3} = 4$ 이므로 조건을 만족시키는 함수 $f$ 의 개수는 $3 \times 4 = 12$ (ⅲ) $f ( 1 ) = 3$ 일 때, $f ( 3 ) , f ( 5 )$ 의 값을 택하는 경우의 수는 ${} _{3} H _{2} = _{4} C _{2} = 6$ 이고, $f ( 2 ) , f ( 4 ) , f ( 6 )$ 의 값을 택하는 경우의 수는 ${} _{3} C _{3} = 1$ 이므로 조건을 만족시키는 함수 $f$ 의 개수는 $6 \times 1 = 6$ (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ)에 의하여 조건을 만족시키는 함수 $f$ 의 개수는 $10 + 12 + 6 = 28$

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