공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

대회 연도와 횟수

문제

국제수학교육대회(ICME)는 $4$ 년마다 열리고 제 $12$ 회 대회는 $2012$ 년 서울에서 개최된다. 올해는 대회가 열리는 해의 일의 자릿수 $2$ 와 횟수의 일의 자릿수 $2$ 가 서로 일치한다. $2013$ 년 이후 대회가 열리는 해의 일의 자릿수와 횟수의 일의 자릿수가 처음으로 일치하는 대회는 $m$ 년 제 $n$ 회일 때, $m + n$ 의 값은? [4점]

① $2070$ ② $2074$ ③ $2078$ ④ $2082$ ⑤ $2086$

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②

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해설

[출제의도] 배수의 성질을 이용하여 외적 문제를 해결한다. 제 $12 + n$ 회 대회는 $2012 + 4 n$ 년에 개최되므로 $12 + n$ 의 일의 자리와 $2012 + 4 n$ 의 일의 자리가 같으면 $( 2012 + 4 n ) - ( 12 + n ) = 10 N$ 을 만족하는 자연수 $N$ 이 존재한다. $3 n = 10 ( N - 200 )$ 이므로 $n$ 은 $10$ 의 배수이다. 따라서 $2013$ 년 이후 처음으로 대회가 열리는 해의 일의 자릿수와 횟수의 일의 자릿수가 처음으로 같아질 때는 $n = 10$ 일 때이다. 즉, $2052$ 년에 제 $22$ 회 국제수학교육대회가 열린다. 따라서 $m = 2052$ , $n = 22$ 이므로 $m + n = 2074$ [다른 풀이] $2012$ 년 이후 국제수학교육대회가 열리는 년도와 횟수를 표로 정리하면 다음과 같다.

년도	회
$2012$	$12$
$2016$	$13$
$2020$	$14$
$2024$	$15$
$2028$	$16$
$2032$	$17$
$2036$	$18$
$2040$	$19$
$2044$	$20$
$2048$	$21$
$2052$	$22$
$\vdots$	$\vdots$

$2013$ 년 이후 처음으로 대회가 열리는 해의 일의 자릿수와 횟수의 일의 자릿수가 같아질 때는 $2052$ 년 제 $22$ 회이다. 따라서 $m = 2052$ , $n = 22$ 이므로 $m + n = 2074$

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