대각선 위 점과 수선

[출제의도] 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 문제해결하기

$\mathrm{D} ( 0 , 6 )$ $\mathrm{M} ( 0 , 3 )$

위 그림과 같이 점 $\mathrm{C}$를 원점으로 하고, 선분 $\mathrm{BC}$를 $x$축, 선분 $\mathrm{DC}$를 $y$축과 일치시키면, 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{M}$의 좌표는 $\mathrm{A} \left( - 4 , 6 \right)$, $\mathrm{M} \mathit{\left( 0 , 3 \right)}$이다. 이때, 선분 $\mathrm{PR}$의 길이를 $a$라 하면, 직선 $\mathrm{AC}$의 방정식은 $\displaystyle y = - \frac{3}{2} x$이므로 점 $\mathrm{Q} , P$의 좌표는 $\mathrm{Q} \mathit{\left( - a , 0 \right)}$, $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( - a , \frac{3}{2} a \right)}$이다. 한편, 직선 $\mathrm{AM}$의 방정식은 $3 x + 4 y - 12 = 0$이므로 점 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \mathit{-} a , \frac{3}{2} a \right)$에서 직선 $3 x + 4 y - 12 = 0$까지의 거리는 $\displaystyle \frac{\left| 3 a - 12 \right|}{5}$이다. 또한 주어진 조건에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \overline{\mathrm{PS}}$이므로 $\displaystyle \frac{3}{2} a = \frac{\left| 3 a - 12 \right|}{5}$ ⇔ $5 a = 2 \left| a - 4 \right|$이다. 그런데 상수 $a$의 값은 $0 < a < 4$이므로 $5 a = - 2 a + 8$에서 $\displaystyle a = \frac{8}{7}$이다. 따라서 $\displaystyle a = \frac{8}{7} = \frac{q}{p}$($p , q$는 서로소)에서 $p = 7 , q = 8$이므로 $p + q = 15$이다.