대각화 행렬 보기 판단

$\displaystyle AP = P \begin{pmatrix} a & & 0 \\ 0 & & b \end{pmatrix} \cdots ( 1 )$, $\displaystyle BP = P \begin{pmatrix} c & & 0 \\ 0 & & d \end{pmatrix} \cdots ( 2 )$라 하자. ㄱ. $\displaystyle A = P \begin{pmatrix} a & & 0 \\ 0 & & b \end{pmatrix} P ^{-1}$, $\displaystyle B = P \begin{pmatrix} c & & 0 \\ 0 & & d \end{pmatrix} P ^{-1}$이므로 $a = c , b = d$이면 $A = B$이다. (참) ㄴ. $\displaystyle AB = P {\begin{pmatrix} a & & 0 \\ 0 & & b \end{pmatrix}} P ^{- 1} P {\begin{pmatrix} c & & 0 \\ 0 & & d \end{pmatrix}} P ^{- 1}$ $\displaystyle = P {\begin{pmatrix} a & & 0 \\ 0 & & b \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} c & & 0 \\ 0 & & d \end{pmatrix}} P ^{- 1} = P {\begin{pmatrix} ac & & 0 \\ 0 & & bd \end{pmatrix}} P ^{- 1}$, $\displaystyle BA = P {\begin{pmatrix} c & & 0 \\ 0 & & d \end{pmatrix}} P ^{- 1} P {\begin{pmatrix} a & & 0 \\ 0 & & b \end{pmatrix}} P ^{- 1}$$\displaystyle = P {\begin{pmatrix} c & & 0 \\ 0 & & d \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} a & & 0 \\ 0 & & b \end{pmatrix}} P ^{- 1} = P {\begin{pmatrix} ac & & 0 \\ 0 & & bd \end{pmatrix}} P ^{- 1}$ 따라서 $AB = BA$이다. (참) ㄷ. (1)-(2)하면 $\displaystyle ( A - B ) P = P \begin{pmatrix} a - c & & 0 \\ 0 & & b - d \end{pmatrix}$ $A - B$가 역행렬을 가지면 $\displaystyle \begin{pmatrix} a - c & & 0 \\ 0 & & b - d \end{pmatrix}$도 역행렬을 가지므로 행렬식 $D = ( a - c ) ( b - d ) \neq 0$이다. 따라서 $a \neq c , b \neq d$이다. (참) 이상에서 ㄱ, ㄴ, ㄷ 모두 참이므로 정답은 ⑤이다.