대각행렬 집합 보기

[출제의도] 행렬의 연산의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. 집합 $G$의 원소를 $\displaystyle E = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$, $\displaystyle X = {\begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}$, $\displaystyle - X = {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}}$, $\displaystyle - E = {\begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & - 1 \end{pmatrix}}$로 놓으면 곱셈에 대한 결과는 아래 표와 같다.

ㄱ. 위의 표로부터 집합 $G$는 곱셈에 대하여 닫혀 있다. (참) ㄴ. 위의 표로부터 $E ^{2} = X ^{2} = ( - X ) ^{2} = ( - E ) ^{2} = E$이므로 집합 $G$의 모든 원소는 곱셈에 대한 역원을 가진다. (참) ㄷ. 집합 $G$의 임의의 원소 $A , B$에 대하여 $A ^{2} = E$, $B ^{2} = E$, $( AB ) ^{2} = E$이므로 $( AB ) ^{2 n} = E = A ^{2 n} B ^{2 n}$이 성립한다. (참)