미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

대칭수 개수 급수

문제

순서대로 읽은 수와 거꾸로 읽은 수가 일치하는 자연수를 대칭수라 한다. 예를 들어 345543345543은 대칭수이고, 345567345567은 대칭수가 아니다. 00과 11만을 이용하여 nn자리 대칭수를 만들 때, 사용된 11의 개수가 00의 개수보다 많은 nn자리 대칭수의 개수를 ana _{n}이라 하자. 이때, ∑n=1∞300a4n\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{300}{a _{4 n}}의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열 이해하기 자릿수가 4n4 n인 대칭수는 최고자리 숫자와 일의 자리 숫자를 제외한 4n−24 n - 2개의 숫자가 서로 대칭이다. 대칭수의 개수 a4na _{4 n}는 연속한 앞 쪽의 2n2 n개의 숫자 중 최고자리를 제외한 2n−12 n - 1개의 숫자에서 11의 개수가 00의 개수보다 많은 경우의 수이다. a4n=2n−1Cn+2n−1Cn+1+⋯+2n−1C2n−1a _{4 n} = _{2 n - 1} {\mathrm{C}} _{n} + _{2 n - 1} {\mathrm{C}} _{n + 1} + \cdots + _{2 n - 1} {\mathrm{C}} _{2 n - 1} =22n−12\displaystyle = \frac{2 ^{2 n - 1}}{2}=22n−2= 2 ^{2n-2}=4n−1= 4 ^{n - 1} 따라서 ∑n=1∞300a4n=∑n=1∞300(14)n−1=400\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{300}{a _{4 n}} = \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} 300 \left( \frac{1}{4} \right) ^{n - 1} = 400

태그

#대칭수#등비급수

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