대칭인 두 원과 직선

[출제의도] 부등식의 영역을 활용하여 문제해결하기 원 $C _{1}$의 중심은 $\left( a , b \right)$이고, 원 $C _{1}$을 $y = x$에 대하여 대칭이동시킨 원 $C _{2}$의 중심은 $\left( b , a \right)$이다. 두 원 $C _{1}$, $C _{2}$가 직선 $y = 2 x - 2$와 모두 만나기 위해서는 두 원의 중심 $\left( a , b \right)$, $\left( b , a \right)$와 직선 $y = 2 x - 2$ 사이의 거리가 모두 원의 반지름의 길이 $\displaystyle \sqrt{5}$보다 작거나 같아야 한다. 즉, $\displaystyle \frac{\left| 2 a - b - 2 \right|}{\sqrt{5}} \leq \sqrt{5}$, $\displaystyle \frac{\left| 2 b - a - 2 \right|}{\sqrt{5}} \leq \sqrt{5}$ $\therefore$ $- 3 \leq 2 a - b \leq 7$, $- 3 \leq 2 b - a \leq 7$ 따라서 점 $\left( a , b \right)$는 부등식 $- 3 \leq 2 x - y \leq 7$과 부등식 $- 3 \leq 2 y - x \leq 7$을 동시에 만족시키는 영역에 속하는 점이므로 $2 b - 3 a = k$라 하면 $k$가 최댓값을 가질 때는 직선 $2 y - 3 x = k$가 두 직선 $2 x - y = - 3$, $2 y - x = 7$이 만나는 점 $\displaystyle \left( \frac{1}{3} , \frac{11}{3} \right)$을 지날 때이다.

$\displaystyle \left( \frac{1}{3} , \frac{11}{3} \right)$ $2 y - 3 x = k$

그러므로 $k$의 최댓값은 $\displaystyle 2 \times \frac{11}{3} - 3 \times \frac{1}{3} = \frac{19}{3}$ $\therefore$ $p = 3$, $q = 19$ 따라서 $p + q = 22$