대칭이동한 함수와 극한 조건

함수 $y = f ( x )$의 그래프를 $y$축에 대하여 대칭이동한 그래프를 나타내는 함수가 $g ( x )$이므로 $g ( x ) = f ( - x )$ $\cdots \cdots$ ㉠ 조건 (가)에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f ( x )}{x - 1}}$의 극한값이 존재하고 (분모)$\rightarrow 0$이므로 (분자)$\rightarrow 0$이어야 한다. 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} f \left( x \right) = 0$ 함수 $f \left( x \right)$는 다항함수이므로 $f ( 1 ) = 0$ $\cdots \cdots$ ㉡ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {\frac{f ( x )}{( x - 3 ) g ( x )}} = k$에서 $k \ne 0$이므로 $f ( 3 ) = 0$ $\cdots \cdots$ ㉢ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 3 +} {\frac{1}{g ' ( x )}} = \infty$에서 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 3 +} {g' ( x )} = 0$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3 -} {f' ( x )} = 0$ 즉, $f' ( 3 ) = 0$ $\cdots \cdots$ ㉣ ㉡, ㉢, ㉣에서 $f ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 3 ) ^{2} Q ( x )$라 할 수 있다. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {\frac{f ( x )}{( x - 3 ) g ( x )}} = k$에 대입하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} \frac{( x - 1 ) ( x - 3 ) ^{2} Q ( x )}{( x - 3 ) ( - x - 1 ) ( - x - 3 ) ^{2} Q ( - x )} = k$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} \frac{( x - 1 ) ( x - 3 ) Q ( x )}{( x + 1 ) ( x + 3 ) ^{2} Q ( - x )} = k$ $\cdots \cdots$ ㉤ 그런데 $k \ne 0$이므로 분모가 $( x - 3 )$이라는 인수를 가지고 있어야 한다. 따라서 $Q ( - x ) = ( x - 3 ) q _{1} ( x )$ 즉, $Q ( x ) = ( x + 3 ) q _{2} ( x )$이어야 한다. 따라서 $f ( x ) = ( x - 1 ) ( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 ) q ( x )$라 할 수 있다. 따라서 $f ( x )$의 차수의 최솟값 $m$은 $q ( x )$가 상수일 때이므로 $m = 4$ ㉤에 대입하면 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} \frac{a ( x - 1 ) ( x - 3 ) ( x + 3 )}{a ( x + 1 ) ( x + 3 ) ^{2} ( x - 3 )} = k$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} \frac{( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x + 3 )} = k$ $\therefore$$\displaystyle k = \frac{1}{12}$ $\therefore$$\displaystyle m + k = 4 + \frac{1}{12} = \frac{49}{12}$