공통수학2도형의 이동수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

대칭이동과 사각형 넓이

문제

곡선 y=x2y = x ^{2} 위의 임의의 점 A(t,t2)\mathrm{A} \left( \mathit{t} , t ^{2} \right) (0<t<10 < t < 1)을 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 점을 B\mathrm{B}라 하고 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}에서 yy축에 내린 수선의 발을 각각 C\mathrm{C}, D\mathrm{D}라 하자. 다음은 사각형 ABDC\mathrm{ABDC}의 넓이가 18\displaystyle \frac{1}{8}이 되는 상수 tt의 값을 구하는 과정이다.

점 A\mathrm{A}에서 yy축에 내린 수선의 발이 C\mathrm{C}이므로 AC‾=t\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = \mathit{t} 점 B\mathrm{B}에서 yy축에 내린 수선의 발이 D\mathrm{D}이므로 BD‾=t2\displaystyle \overline{\mathrm{BD}} = \mathit{t} ^{2} DC‾=□(가)\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} = \left. {\square {( \text{가} ) _{} ^{}}} \right.이므로 사각형 ABDC\mathrm{ABDC}의 넓이는 12t2×(□(나))\displaystyle \frac{1}{2} t ^{2} \times \left( {\square {( \text{나} ) _{} ^{}}} \right) 사각형 ABDC\mathrm{ABDC}의 넓이가 18\displaystyle \frac{1}{8}이므로 12t2×(□(나))=18\displaystyle \frac{1}{2} t ^{2} \times \left( {\square {( \text{나} ) _{} ^{}}} \right) = \frac{1}{8} 따라서 t=□(다)\left. t = {\square {( \text{다} ) _{} ^{}}} \right.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(t)f \left( t \right), g(t)g \left( t \right)라 하고, (다)에 알맞은 수를 kk라 할 때, f(k)×g(k)f \left( k \right) \times g \left( k \right)의 값은? [4점] ①2−14\displaystyle \frac{\sqrt{2} - 1}{4}②3−12\displaystyle \frac{\sqrt{3} - 1}{2}③3+14\displaystyle \frac{\sqrt{3} + 1}{4}④22−12\displaystyle \frac{2 \sqrt{2} - 1}{2}⑤22+14\displaystyle \frac{2 \sqrt{2} + 1}{4}

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①

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해설

[출제의도] 사차방정식을 이용하여 추론하기 점 B\mathrm{B}는 점 A(t,t2)\mathrm{A} \mathit{\left( t , t ^{2} \right)}을 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 점이므로 점 B\mathrm{B}의 좌표는 (t2,t)\left( t ^{2} , t \right)이다.

y=x2y = x ^{2}

그림과 같이 점 A\mathrm{A}에서 yy축에 내린 수선의 발이 C\mathrm{C}이므로 AC‾=t\displaystyle {\overline{\mathrm{AC}}} = \mathit{t} 점 B\mathrm{B}에서 yy축에 내린 수선의 발이 D\mathrm{D}이므로 BD‾=t2\displaystyle {\overline{\mathrm{BD}}} = \mathit{t} ^{2} DC‾=□t−t2\displaystyle {\overline{\mathrm{DC}}} = \left. {\square {t - t _{{}^{}} ^{2 ^{}}}} \right.이므로 사각형 ABDC\mathrm{ABDC}의 넓이는 12(t+t2)(t−t2)=12t2×(□1−t2)\displaystyle \frac{1}{2} \left( t + t ^{2} \right) \left( t - t ^{2} \right) = \frac{1}{2} t ^{2} \times \left( \left. {\square {1 - t _{{}^{}} ^{2 ^{}}}} \right. \right) 사각형 ABDC\mathrm{ABDC}의 넓이가 18\displaystyle \frac{1}{8}이므로 12t2×(□1−t2)=18\displaystyle \frac{1}{2} t ^{2} \times \left( \left. {\square {1 - t _{{}^{}} ^{2 ^{}}}} \right. \right) = \frac{1}{8} t2(1−t2)=14\displaystyle t ^{2} \left( 1 - t ^{2} \right) = \frac{1}{4}, (2t2−1)2=0\left( 2 t ^{2} - 1 \right) ^{2} = 0 따라서 t=□22\displaystyle \left. t = {\square {{\frac{\sqrt{2}}{2}} ^{}}} \right. (0<t<10 < t < 1) f(t)=t−t2f \left( t \right) = t - t ^{2}, g(t)=1−t2g \left( t \right) = 1 - t ^{2}, k=22\displaystyle k = \frac{\sqrt{2}}{2}이므로 f(k)×g(k)f \left( k \right) \times g \left( k \right)=f(22)×g(22)\displaystyle = f \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \times g \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right) =(22−12)×(1−12)\displaystyle = \left( \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2} \right) \times \left( 1 - \frac{1}{2} \right) =2−14\displaystyle = \frac{\sqrt{2} - 1}{4}

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