대칭이동과 외접원

[출제의도] 도형의 이동과 직선의 수직 조건을 이용하여 원의 둘레의 길이를 구한다.

두 상수 $a$, $b$에 대하여 점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $\left( a , b \right)$라 하면 점 $\mathrm{C}$는 점 $\mathrm{A}$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점이므로 점 $\mathrm{C}$의 좌표는 $\left( b , a \right)$이다. 점 $\mathrm{C}$는 직선 $y = 2 x$ 위의 점이므로 $a = 2 b$이다. 따라서 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\mathrm{A} \mathit{(} 2 b , b )$이다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{5}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} ^{2}$$\displaystyle = \left( 2 \sqrt{5} \right) ^{2}$$= 20$ ${\left. \left( 2 b \right. \right) ^{2} + b ^{2}}$$= 20$, $5 b ^{2}$$= 20$ $b ^{2}$$= 4$에서 $b = 2$ 따라서 두 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$의 좌표는 $\mathrm{A} \left( 4 , 2 ) \right.$, $\mathrm{C} \left( 2 , 4 ) \right.$ $y$축 위의 점 $\mathrm{B}$의 좌표를 $\left( 0 , c \right)$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = \overline{\mathrm{OA}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{5}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} ^{2}$$\displaystyle = \left( 2 \sqrt{5} \right) ^{2}$$= 20$ $\left( 4 - 0 \right) ^{2} + ( 2 - c ) ^{2}$$= 20$ $16 + 4 - 4 c + c ^{2} = 20$ $- 4 c + c ^{2} = 0$, $c ( c - 4 ) = 0$ $c > 0$이므로 $c = 4$ 따라서 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\left( 0 , 4 \right)$이다. 점 $\mathrm{D}$는 직선 $\mathrm{AB}$와 직선 $y = x$의 교점이므로 $\displaystyle x = \mathit{-} \frac{1}{2} x + 4$, $\displaystyle \frac{3}{2} x = 4$ $\displaystyle x = \frac{8}{3}$, $\displaystyle y = \frac{8}{3}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{D} \mathit{\left( \frac{8}{3} , \frac{8}{3} \right)}$ 한편, 직선 $\mathrm{A} B$의 기울기는 $\displaystyle - \frac{1}{2}$이고 직선 $y = 2 x$의 기울기는 $2$이므로 두 직선은 서로 수직이다. 따라서 삼각형 $\mathrm{ODE}$는 $\angle \mathrm{OED} = 90 ^\circ$인 직각삼각형이고, 삼각형 $\mathrm{ODE}$의 외접원의 지름의 길이는 선분 $\mathrm{OD}$의 길이와 같다. $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( \frac{8}{3} \right) ^{2} + \left( \frac{8}{3} \right) ^{2}}$$\displaystyle = \frac{8}{3} \sqrt{2}$ 삼각형 $\mathrm{ODE}$의 외접원의 둘레의 길이는 $k \pi$$\displaystyle = \frac{8}{3} \sqrt{2} \pi$, $\displaystyle k = \frac{8}{3} \sqrt{2}$ 따라서 $9 k ^{2}$$\displaystyle = 9 \times \left( \frac{8}{3} \sqrt{2} \right) ^{2}$$\displaystyle = 9 \times \frac{128}{9}$$= 128$