대칭이동과 넓이 비

[출제의도] 점의 대칭이동과 삼각형의 닮음을 이용하여 상수의 값을 구한다. 두 점 $\mathrm{A} ( 4 , \mathit{a} )$, $\mathrm{B} ( 2 , 1 )$을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점은 각각 $\mathrm{A}' ( \mathit{a} , 4 )$, $\mathrm{B}' ( 1 , 2 )$이다. 두 직선 $\mathrm{AA}'$, $\mathrm{BB}'$은 각각 직선 $y = x$와 서로 수직이므로 두 직선 $\mathrm{AA}'$, $\mathrm{BB}'$은 서로 평행하다. 따라서 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$은 서로 닮은 삼각형이다. 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$의 넓이의 비가 $9 : 4$이므로 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$의 닮음비는 $3 : 2$이다. ∴ $\displaystyle \overline{\mathrm{AA}'} : \overline{\mathrm{BB}'} = 3 : 2$ $\displaystyle \mathrm{\overline{AA'}} = \mathit{\sqrt{( a - 4 ) ^{2} + ( 4 - a ) ^{2}}} = \sqrt{2} ( a - 4 )$ (∵ $a > 4$) $\displaystyle \mathrm{\overline{BB'}} = \sqrt{( - 1 ) ^{2} + 1 ^{2}} = \sqrt{2}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AA}'} : \overline{\mathrm{BB}'} = 3 : 2$에서 $\displaystyle \sqrt{2} ( a - 4 ) : \sqrt{2} = 3 : 2$ $2 ( a - 4 ) = 3$에서 $\displaystyle a = \frac{11}{2}$

[다른 풀이1] 두 점 $\mathrm{A} ( 4 , \mathit{a} )$, $\mathrm{B} ( 2 , 1 )$을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점은 각각 $\mathrm{A}' ( \mathit{a} , 4 )$, $\mathrm{B}' ( 1 , 2 )$이다. 두 직선 $\mathrm{AA}'$, $\mathrm{BB}'$은 각각 직선 $y = x$와 서로 수직이므로 두 직선 $\mathrm{AA}'$, $\mathrm{BB}'$은 서로 평행하다. 따라서 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$은 서로 닮은 삼각형이다. 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$의 넓이의 비가 $9 : 4$이므로 두 삼각형의 닮음비는 $3 : 2$이다. ∴ $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} : \overline{BP} = 3 : 2$ 점 $\mathrm{P}$는 선분 $\mathrm{AB}$를 $3 : 2$로 내분하는 점이므로 점 $\mathrm{P}$의 좌표는 $\displaystyle \left( \frac{3 \times 2 + 2 \times 4}{3 + 2} , \frac{3 \times 1 + 2 \times a}{3 + 2} \right)$ 즉 $\displaystyle \left( \frac{14}{5} , \frac{2 a + 3}{5} \right)$ 두 직선 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{A}' B'$은 직선 $y = x$에 대하여 서로 대칭이므로 두 직선 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{A}' B'$의 교점 $\mathrm{P}$는 직선 $y = x$ 위의 점이다. $\displaystyle \frac{14}{5} = \frac{2 a + 3}{5}$ ∴ $\displaystyle a = \frac{11}{2}$ [다른 풀이2] 두 점 $\mathrm{A} ( 4 , \mathit{a} )$, $\mathrm{B} ( 2 , 1 )$을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점은 각각 $\mathrm{A}' ( \mathit{a} , 4 )$, $\mathrm{B}' ( 1 , 2 )$이다. 두 직선 $\mathrm{AA}'$, $\mathrm{BB}'$은 각각 직선 $y = x$와 서로 수직이므로 두 직선 $\mathrm{AA}'$, $\mathrm{BB}'$은 서로 평행하다. 따라서 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$은 서로 닮은 삼각형이다. 점 $\mathrm{A}$와 직선 $y = x$ 사이의 거리와 점 $\mathrm{B}$와 직선 $y = x$ 사이의 거리의 비가 닮음비 $3 : 2$와 같다. $\displaystyle \frac{| 4 - a |}{\sqrt{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}} : \frac{1}{\sqrt{1 ^{2} + ( - 1 ) ^{2}}} = 3 : 2$ $2 ( a - 4 ) = 3$ (∵ $a > 4$) ∴ $\displaystyle a = \frac{11}{2}$ [참고] $a$의 값에 따라 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$의 존재 여부와 두 삼각형의 닮음비가 달라진다. (1) $a < - 1$ 또는 $- 1 < a < 3$ 또는 $a > 5$일 때 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$이 존재하고, 점 $\mathrm{A}$와 직선 $y = x$ 사이의 거리가 점 $\mathrm{B}$와 직선 $y = x$ 사이의 거리보다 크므로 삼각형 $\mathrm{APA}'$의 넓이가 삼각형 $\mathrm{BPB}'$의 넓이보다 크다. (2) $a = 3$일 때 두 직선 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{A}' B'$이 서로 평행하므로 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$이 존재하지 않는다. (3) $a = 5$일 때 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$이 존재하고, 점 $\mathrm{A}$와 직선 $y = x$ 사이의 거리와 점 $\mathrm{B}$와 직선 $y = x$ 사이의 거리가 같으므로 삼각형 $\mathrm{APA}'$의 넓이와 삼각형 $\mathrm{BPB}'$의 넓이가 같다. (4) $3 < a < 4$ 또는 $4 < a < 5$일 때 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$이 존재하고, 점 $\mathrm{A}$와 직선 $y = x$ 사이의 거리가 점 $\mathrm{B}$와 직선 $y = x$ 사이의 거리보다 작으므로 삼각형 $\mathrm{APA}'$의 넓이가 삼각형 $\mathrm{BPB}'$의 넓이보다 작다. (5) $a = 4$일 때 점 $\mathrm{A}$가 직선 $y = x$ 위의 점이므로 삼각형 $\mathrm{APA}'$이 존재하지 않는다. (6) $a = - 1$일 때 점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{A}'$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{B}'$이 모두 직선 $y = - x + 3$ 위에 있으므로 두 삼각형 $\mathrm{APA}'$, $\mathrm{BPB}'$이 존재하지 않는다.