대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

대칭이동과 동경

문제

양수 kk에 대하여 좌표평면에서 점 A(−1k2+1,kk2+1)\displaystyle {\mathrm{A}} \mathit{\left( - \frac{1}{\sqrt{k ^{2} + 1}} , \frac{k}{\sqrt{k ^{2} + 1}} \right)}를 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 점을 B{\mathrm{B}}라 하고, 두 동경 OA{\mathrm{OA}}, OB{\mathrm{OB}}가 나타내는 각의 크기를 각각 α\alpha, β\beta라 하자. cos⁡αsin⁡β=13\displaystyle \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{3}일 때, k2k ^{2}의 값을 구하시오. (단, O{\mathrm{O}}는 원점이고, xx축의 양의 방향을 시초선으로 한다.) [4점]

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해설

점 A(−1k2+1,kk2+1)\displaystyle {\mathrm{A}} \mathit{\left( - \frac{1}{\sqrt{k ^{2} + 1}} , \frac{k}{\sqrt{k ^{2} + 1}} \right)}를 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 점은 B(kk2+1,−1k2+1)\displaystyle {\mathrm{B}} \mathit{\left( \frac{k}{\sqrt{k ^{2} + 1}} , - \frac{1}{\sqrt{k ^{2} + 1}} \right)}이다. OA‾=OB‾=1\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = {\overline{\mathrm{OB}}} = 1이므로 cos⁡α=−1k2+1\displaystyle \cos \alpha = - \frac{1}{\sqrt{k ^{2} + 1}}, sin⁡β=−1k2+1\displaystyle \sin \beta = - \frac{1}{\sqrt{k ^{2} + 1}}이다. 따라서 cos⁡αsin⁡β=1k2+1=13\displaystyle \cos \alpha \sin \beta = \frac{1}{k ^{2} + 1} = \frac{1}{3}에서 k2=2k ^{2} = 2이다.

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#동경#삼각함수 정의

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