대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

대칭이동과 동경

문제

좌표평면에서 제11사분면에 점 P\mathrm{P}가 있다. 점 P\mathrm{P}를 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 점을 Q\mathrm{Q}라 하고, 점 Q\mathrm{Q}를 원점에 대하여 대칭이동한 점을 R\mathrm{R}라 할 때, 세 동경 OP\mathrm{OP}, OQ\mathrm{OQ}, OR\mathrm{OR}가 나타내는 각을 각각 α\alpha, β\beta, γ\gamma라 하자. sin⁡α=13\displaystyle \sin \alpha = \frac{1}{3}일 때, 9(sin⁡2β+tan⁡2γ)9 \left( \sin ^{2} \beta + \tan ^{2} \gamma \right)의 값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점이고, 시초선은 xx축의 양의 방향이다.) [4점]

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80

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해설

[출제의도] 삼각함수의 정의를 이해한다. 원점을 중심으로 하고 반지름의 길이가 33인 원이 세 동경 OP\mathrm{OP}, OQ\mathrm{OQ}, OR\mathrm{OR}와 만나는 점을 각각 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}, C\mathrm{C}라 하자. 점 P\mathrm{P}가 제11사분면 위에 있고, sin⁡α=13\displaystyle \sin \alpha = \frac{1}{3}이므로 점 A\mathrm{A}의 좌표는 A(22,1)\displaystyle \mathrm{A} \left( 2 \sqrt{2} , 1 \right) 점 Q\mathrm{Q}가 점 P\mathrm{P}와 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이므로 동경 OQ\mathrm{OQ}도 동경 OP\mathrm{OP}와 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이다. 그러므로 점 B\mathrm{B}의 좌표는 B(1,22)\displaystyle \mathrm{B} \left( 1 , 2 \sqrt{2} \right) 점 R\mathrm{R}가 점 Q\mathrm{Q}와 원점에 대하여 대칭이므로 동경 OR\mathrm{OR}도 동경 OQ\mathrm{OQ}와 원점에 대하여 대칭이다. 그러므로 점 C\mathrm{C}의 좌표는 C(−1,−22)\displaystyle \mathrm{C} \left( - 1 , - 2 \sqrt{2} \right) 삼각함수의 정의에 의해 sin⁡β\sin \beta=223\displaystyle = \frac{2 \sqrt{2}}{3}, tan⁡γ=(−22)(−1)\displaystyle \tan \gamma = \frac{\left( - 2 \sqrt{2} \right)}{\left( - 1 \right)}=22\displaystyle = 2 \sqrt{2} 따라서 9(sin⁡2β+tan⁡2γ)9 \left( \sin ^{2} \beta + \tan ^{2} \gamma \right)=9×(89+8)\displaystyle = 9 \times \left( \frac{8}{9} + 8 \right)=80= 80

태그

#동경#삼각함수의 정의

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