대칭이동과 최단거리

[출제의도] 대칭이동을 활용하여 문제해결하기

점 $\mathrm{A}$의 좌표를 $\left( a , b \right)$라 하면 점 $\mathrm{A}$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동시킨 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\left( b , a \right)$이고, 점 $\mathrm{A}$를 $x$축에 대하여 대칭이동시킨 점을 $\mathrm{A}'$이라 하면 ${\mathrm{A}'} ( a , - b )$이다. $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} = \overline{\mathrm{A}' P}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{PB}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{A}' P}} + {\overline{\mathrm{PB}}}$이고 $x$축 위의 점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{A}' B$ 위에 있을 때 최솟값 $\displaystyle \overline{\mathrm{A}' B} = 10 \sqrt{2}$를 갖는다. $\therefore$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{A}' B}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( a - b \right) ^{2} + \left( a + b \right) ^{2}}$$\displaystyle = \sqrt{2 \left( a ^{2} + b ^{2} \right)}$$\displaystyle = 10 \sqrt{2}$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{OA}} =$$\displaystyle \sqrt{a ^{2} + b ^{2}} = 10$