공통수학2도형의 이동수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

대칭이동과 최단거리

문제

좌표평면 위의 두 점 A(1,0){\mathrm{A}} \mathit{(} 1 , 0 ), B(6,5){\mathrm{B}} \mathit{(} 6 , 5 )와 직선 y=xy = x 위의 점 P{\mathrm{P}}에 대하여 AP‾+BP‾\displaystyle \overline{{\mathrm{AP}}} + \overline{{\mathrm{BP}}} 의 값이 최소가 되도록 하는 점 P{\mathrm{P}}를 P0{\mathrm{P}} \mathit{_{0}}이라 하자. 직선 AP0{\mathrm{AP}} \mathit{_{0}}을 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 직선이 점 (9,a)( 9 , a )를 지날 때, aa의 값은? [3점] ①4\mathrm{4}②5\mathrm{5}③6\mathrm{6}④7\mathrm{7}⑤8\mathrm{8}

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④

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해설

[출제의도] 대칭이동을 활용하여 문제해결하기 점 A{\mathrm{A}}를 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 점을 A′{\mathrm{A}} \mathit{'}이라 하면 점 A′{\mathrm{A}} \mathit{'}의 좌표는 (0,1)( 0 , 1 )이다. AP‾+BP‾=A′P‾+BP‾≥A′B‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{BP}}} = {\overline{\mathrm{A} \mathit{'} \mathrm{P}}} + {\overline{\mathrm{BP}}} \geq {\overline{\mathrm{A} \mathit{'} \mathrm{B}}}에서 점 P0{\mathrm{P}} \mathit{_{0}}은 선분 A′B{\mathrm{A}} \mathit{'} {\mathrm{B}} 위에 있다. 직선 AP0{\mathrm{AP}} \mathit{_{0}}을 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 직선 A′P0{\mathrm{A}} \mathit{'} {\mathrm{P}} \mathit{_{0}}은 직선 A′B{\mathrm{A}} \mathit{'} {\mathrm{B}}와 같다. 직선 A′P0{\mathrm{A}} \mathit{'} {\mathrm{P}} \mathit{_{0}}의 방정식은 y=23x+1\displaystyle y = \frac{2}{3} x + 1 점 (9,a)( 9 , a )가 직선 y=23x+1\displaystyle y = \frac{2}{3} x + 1 위에 있으므로 a=23×9+1=7\displaystyle a = \frac{2}{3} \times 9 + 1 = 7

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#대칭이동#최단거리

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