대칭이동 공통 넓이

[출제의도] 대칭이동을 이용하여 주어진 도형의 넓이를 구한다.

두 직선 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{OD}$의 교점을 $\mathrm{E}$, 직선 $\mathrm{AB}$와 직선 $y = x$의 교점을 $\mathrm{F}$라 하자. 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $\displaystyle y - 0 = \frac{2 - 0}{1 - 2} \left( x - 2 \right)$ 즉, $y = \mathit{-} 2 x + 4$ 이다. 점 $\mathrm{B} \left( 1 , 2 \right)$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $( 2 , 1 )$이므로 직선 $\mathrm{OD}$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$이다. $\displaystyle - 2 x + 4 = \frac{1}{2} x$에서 $\displaystyle x = \frac{8}{5}$ $- 2 x + 4 = x$에서 $\displaystyle x = \frac{4}{3}$ 이므로 두 점 $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$의 $x$좌표는 각각 $\displaystyle \frac{8}{5}$, $\displaystyle \frac{4}{3}$이다. $\triangle \mathrm{OAF} \mathit{:} \triangle \mathrm{OEF}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{AF}}} : {\overline{\mathrm{EF}}}$$\displaystyle = \left| 2 - \frac{4}{3} \right| : \left| \frac{8}{5} - \frac{4}{3} \right|$$= 5 : 2$ 이므로 삼각형 $\mathrm{OEF}$의 넓이는 삼각형 $\mathrm{OAF}$의 넓이의 $\displaystyle \frac{2}{5}$배이다. 따라서 $S$$\displaystyle = \left( \frac{1}{2} \times 2 \times \frac{4}{3} \right) \times \frac{2}{5} \times 2$$\displaystyle = \frac{16}{15}$이므로 $60 S = 64$ [다른풀이] 두 직선 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{OD}$의 교점을 $\mathrm{E}$, 직선 $\mathrm{AB}$와 직선 $y = x$의 교점을 $\mathrm{F}$라 하자. 직선 $\mathrm{AB}$의 방정식은 $\displaystyle y - 0 = \frac{2 - 0}{1 - 2} \left( x - 2 \right)$ 즉, $y = \mathit{-} 2 x + 4$ 이다. 점 $\mathrm{B} \left( 1 , 2 \right)$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점 $\mathrm{D}$의 좌표는 $( 2 , 1 )$이므로 직선 $\mathrm{OD}$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{1}{2} x$이다. $\displaystyle - 2 x + 4 = \frac{1}{2} x$에서 $\displaystyle x = \frac{8}{5}$ $- 2 x + 4 = x$에서 $\displaystyle x = \frac{4}{3}$ 이므로 두 점 $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$의 좌표는 각각 $\displaystyle \mathrm{E} \left( \frac{8}{5} , \frac{4}{5} \right)$, $\displaystyle \mathrm{F} \left( \frac{4}{3} , \frac{4}{3} \right)$ $\displaystyle \mathrm{\overline{OE}} = \sqrt{\left( \frac{8}{5} \right) ^{2} + \left( \frac{4}{5} \right) ^{2}} = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{EF}}$$\displaystyle = \sqrt{\left( \frac{4}{3} - \frac{8}{5} \right) ^{2} + \left( \frac{4}{3} - \frac{4}{5} \right) ^{2}}$ $\displaystyle = \sqrt{\left( - \frac{4}{15} \right) ^{2} + \left( \frac{8}{15} \right) ^{2}} = \frac{4 \sqrt{5}}{15}$ 이때, 두 직선 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{OD}$의 기울기의 곱이 $- 1$이므로 삼각형 $\mathrm{OEF}$는 직각삼각형이다. $\displaystyle \triangle \mathrm{OEF} = \frac{1}{2} \times \frac{4 \sqrt{5}}{5} \times \frac{4 \sqrt{5}}{15} = \frac{8}{15}$ 따라서 $\displaystyle S = \frac{8}{15} \times 2 = \frac{16}{15}$이므로 $60 S = 64$