공통수학2도형의 이동수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

대칭이동 거리 최솟값

문제

좌표평면 위에 점 A(−1,0)\mathrm{A} ( - 1 , 0 )과 원 C:(x+3)2+(y−8)2=5C : \mathit{(} x + 3 ) ^{2} + ( y - 8 ) ^{2} = 5가 있다. yy축 위의 점 P\mathrm{P}와 원 CC 위의 점 Q\mathrm{Q}에 대하여 AP‾+PQ‾\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} + \overline{\mathrm{PQ}}의 최솟값을 kk라 할 때, k2k ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

Q\mathbf{\mathrm{Q}} O\mathbf{\mathrm{O}} P\mathbf{\mathrm{P}} A\mathbf{\mathrm{A}} (x+3)2+(y−8)2=5( x + 3 ) ^{2} + ( y - 8 ) ^{2} = 5

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45

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해설

[출제의도] 도형의 대칭이동 문제 해결하기 점 A\mathrm{A}를 yy축에 대하여 대칭이동한 점 A′(1,0)\mathrm{A}' ( 1 , 0 )에 대하여 AP‾+PQ‾=A′P‾+PQ‾≥A′Q‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} + \overline{PQ} = \overline{A' P} + \overline{PQ} \geq \overline{A' Q}이다. A′Q‾\displaystyle \overline{\mathrm{A}' Q}의 최솟값은 점 A′(1,0)\mathrm{A}' ( 1 , 0 )과 원 CC의 중심 (−3,8)( - 3 , 8 ) 사이의 거리에서 원 CC의 반지름의 길이 5\displaystyle \sqrt{5}를 뺀 값이다. 따라서 k=45−5=35\displaystyle k = 4 \sqrt{5} - \sqrt{5} = 3 \sqrt{5} ∴ k2=45k ^{2} = 45

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#대칭이동#원

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