공통수학2도형의 이동수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

대칭이동 최단거리

문제

좌표평면 위에 두 점 A(−4,4)\mathrm{A} \left( - 4 , 4 \right), B(5,3)\mathrm{B} \left( 5 , 3 \right)이 있다. xx축 위의 두 점 P\mathrm{P}, Q\mathrm{Q}와 직선 y=1y = \mathit{1} 위의 점 R\mathrm{R}에 대하여 AP‾+PR‾+RQ‾+QB‾\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} + {\overline{PR}} + {\overline{RQ}} + {\overline{QB}}의 최솟값은? [4점]

①1212②56\displaystyle 5 \sqrt{6}③239\displaystyle 2 \sqrt{39}④92\displaystyle 9 \sqrt{2}⑤242\displaystyle 2 \sqrt{42}

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④

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해설

[출제의도] 도형의 이동을 활용하여 문제해결하기 점 R\mathrm{R}는 직선 y=1y = 1 위에 있으므로 점 R\mathrm{R}의 좌표를 (a,1)\left( a , 1 \right)이라 하자. 점 R\mathrm{R}를 xx축에 대하여 대칭이동한 점을 R′\mathrm{R}'이라 하면 점 R′\mathrm{R}'의 좌표는 (a,−1)\left( a , - 1 \right)이다.

R′\mathrm{R}'

그림과 같이 AP‾+PR‾=AP‾+PR′‾≥AR′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{PR}}} = {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{PR}'}} \geq {\overline{\mathrm{AR}'}}, RQ‾+QB‾=R′Q‾+QB‾≥R′B‾\displaystyle {\overline{\mathrm{RQ}}} + {\overline{\mathrm{QB}}} = {\overline{\mathrm{R}' Q}} + {\overline{\mathrm{QB}}} \geq {\overline{\mathrm{R}' B}}이므로 AP‾+PR‾+RQ‾+QB‾≥AR′‾+R′B‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{PR}}} + {\overline{\mathrm{RQ}}} + {\overline{\mathrm{QB}}} \geq {\overline{\mathrm{AR}'}} + {\overline{\mathrm{R}' B}} AR′‾+R′B‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AR}'}} + {\overline{\mathrm{R}' B}}의 값은 점 R′(a,−1)\mathrm{R}' \left( \mathit{a} , - 1 \right)의 위치에 따라 변하므로 AP‾+PR‾+RQ‾+QB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{PR}}} + {\overline{\mathrm{RQ}}} + {\overline{\mathrm{QB}}}의 최솟값은 AR′‾+R′B‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AR}'}} + {\overline{\mathrm{R}' B}}의 최솟값과 같다. 세 점 A(−4,4)\mathrm{A} \left( - 4 , 4 \right), B(5,3)\mathrm{B} \left( 5 , 3 \right), R′(a,−1)\mathrm{R}' \left( \mathit{a} , - 1 \right)을 yy축의 방향으로 11만큼 평행이동한 점을 각각 A′\mathrm{A}', B′\mathrm{B}', R′′\mathrm{R}''이라 하면 A′(−4,5)\mathrm{A}' \left( - 4 , 5 \right), B′(5,4)\mathrm{B}' \left( 5 , 4 \right), R′′(a,0)\mathrm{R}'' \left( \mathit{a} , 0 \right)이고 AR′‾+R′B‾=A′R′′‾+R′′B′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AR}'}} + {\overline{\mathrm{R}' B}} = {\overline{\mathrm{A}' R''}} + {\overline{\mathrm{R}'' B'}}이다.

R′\mathrm{R}'

점 B′\mathrm{B}'을 xx축에 대하여 대칭이동한 점을 B′′\mathrm{B}''이라 하면 점 B′′\mathrm{B}''의 좌표는 (5,−4)\left( 5 , - 4 \right)이다. A′R′′‾+R′′B′‾=A′R′′‾+R′′B′′‾≥A′B′′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{A}' R''}} + {\overline{\mathrm{R}'' B'}} = {\overline{\mathrm{A}' R''}} + {\overline{\mathrm{R}'' B''}} \geq {\overline{\mathrm{A}' B''}} 이므로 AP‾+PR‾+RQ‾+QB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{PR}}} + {\overline{\mathrm{RQ}}} + {\overline{\mathrm{QB}}}의 최솟값은 A′B′′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{A}' B''}}과 같다.

점 A′(−4,5)\mathrm{A}' \left( - 4 , 5 \right)이고 점 B′′(5,−4)\mathrm{B}'' \left( 5 , - 4 \right)에 대하여 A′B′′‾={5−(−4)}2+(−4−5)2=92\displaystyle {\overline{\mathrm{A}' B''}} = \sqrt{\left\{ 5 - \left( - 4 \right) \right\} ^{2} + \left( - 4 - 5 \right) ^{2}} = 9 \sqrt{2} 따라서 AP‾+PR‾+RQ‾+QB‾\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{PR}}} + {\overline{\mathrm{RQ}}} + {\overline{\mathrm{QB}}}의 최솟값은 92\displaystyle 9 \sqrt{2}

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