대칭이동 최단거리

두 점 $\mathrm{A} \left( 0 , 1 \right)$, $\mathrm{B} \left( 0 , 2 \right)$를 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점은 각각 $\mathrm{A}' \left( 1 , 0 \right)$, $\mathrm{B}' \left( 2 , 0 \right)$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} = {\overline{A' P}}$, $\displaystyle \mathrm{\overline{BQ}} = {\overline{B' Q}}$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{PB}}} + {\overline{\mathrm{BQ}}} + {\overline{\mathrm{QC}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{A}' P}} + {\overline{\mathrm{PB}}} + {\overline{\mathrm{B}' Q}} + {\overline{\mathrm{QC}}}$$\displaystyle \mathrm{\geq} {\overline{A' B}} + {\overline{B' C}}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AP}}} + {\overline{\mathrm{PB}}} + {\overline{\mathrm{BQ}}} + {\overline{\mathrm{QC}}}$의 값이 최소일 때는 점 $\mathrm{P}$가 두 점 $\mathrm{A}'$, $\mathrm{B}$를 지나는 직선 위에 있고, 점 $\mathrm{Q}$가 두 점 $\mathrm{B}'$, $\mathrm{C}$를 지나는 직선 위에 있을 때이다.

두 점 $\mathrm{A}' \left( 1 , 0 \right)$, $\mathrm{B} \left( 0 , 2 \right)$를 지나는 직선의 방정식은 $y = \mathit{-} 2 x + 2$ 두 점 $\mathrm{B}' \left( 2 , 0 \right)$, $\mathrm{C} ( 0 , 4 )$를 지나는 직선의 방정식은 $y = \mathit{-} 2 x + 4$ 점 $\mathrm{P}$는 두 직선 $y = x$, $y = \mathit{-} 2 x + 2$의 교점이고 점 $\mathrm{Q}$는 두 직선 $y = x$, $y = \mathit{-} 2 x + 4$의 교점이므로 $\displaystyle \mathrm{P} \left( \frac{2}{3} , \frac{2}{3} \right)$, $\displaystyle \mathrm{Q} \left( \frac{4}{3} , \frac{4}{3} \right)$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{\overline{PQ}} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{4}{9}} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$