공통수학2도형의 이동수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

대칭이동 최단거리

문제

그림과 같이 좌표평면 위에 두 점 A(−10,0)\mathrm{A} \left( - 10 , 0 \right), B(10,10)\mathrm{B} \left( 10 , 10 \right)과 선분 AB\mathrm{AB} 위의 두 점 C(−8,1)\mathrm{C} \left( - 8 , 1 \right), D(4,7)\mathrm{D} \left( 4 , \mathit{7} \right)이 있다. 선분 AO\mathrm{AO} 위의 점 E\mathrm{E}와 선분 OB\mathrm{OB} 위의 점 F\mathrm{F}에 대하여 CE‾+EF‾+FD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} + {\overline{\mathrm{EF}}} + {\overline{\mathrm{FD}}}의 값이 최소가 되도록 하는 점 E\mathrm{E}의 xx좌표는? (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

①−5- 5②−92\displaystyle - \frac{9}{2}③−4- 4④−72\displaystyle - \frac{7}{2}⑤−3- 3

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①

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해설

점 C(−8,1)\mathrm{C} \left( - 8 , 1 \right)을 xx축에 대하여 대칭이동한 점은 C′(−8,−1)\mathrm{C}' \left( - 8 , - 1 \right)이고, 점 D(4,7)\mathrm{D} \left( 4 , 7 \right)을 직선 y=xy = x에 대하여 대칭이동한 점은 D′(7,4)\mathrm{D}' \left( 7 , 4 \right) CE‾=C′E‾\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} = {\overline{\mathrm{C}' E}}, FD‾=FD′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{FD}}} = {\overline{\mathrm{FD}'}}이므로 CE‾+EF‾+FD‾=C′E‾+EF‾+FD′‾≥C′D′‾\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} + {\overline{\mathrm{EF}}} + {\overline{\mathrm{FD}}} \mathrm{=} {\overline{C' E}} + {\overline{EF}} + {\overline{FD'}} \geq {\overline{C' D'}} CE‾+EF‾+FD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} + {\overline{\mathrm{EF}}} + {\overline{\mathrm{FD}}}의 값이 최소일 때는 점 E\mathrm{E}, F\mathrm{F}가 두 점 C′\mathrm{C}', D′\mathrm{D}'을 지나는 직선 위에 있을 때이다.

두 점 C′(−8,−1)\mathrm{C}' \left( - 8 , - 1 \right), D′(7,4)\mathrm{D}' \left( 7 , \mathit{4} \right)를 지나는 직선의 방정식은 y−4=13(x−7)\displaystyle y - 4 = \frac{1}{3} \left( x - 7 \right) ∴\therefore y=13x+53\displaystyle y = \frac{1}{3} x + \frac{5}{3} 따라서 CE‾+EF‾+FD‾\displaystyle {\overline{\mathrm{CE}}} + {\overline{\mathrm{EF}}} + {\overline{\mathrm{FD}}}의 값이 최소가 되도록 하는 점 E\mathrm{E}의 xx좌표는 −5- 5

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