공통수학1행렬과 그 연산수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

대칭과 회전 합성변환

문제

좌표평면 위에 두 점 A(−2,0)\mathrm{A} \left( - 2 , 0 \right), B(−2,23)\displaystyle \mathrm{B} \left( - 2 , 2 \sqrt{3} \right)이 있다. 두 행렬 (−1001)\displaystyle {\begin{pmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}}，12(1−331)\displaystyle \frac{1}{2} {\begin{pmatrix} 1 & - \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}}로 나타내어지는 일차변환을 각각 ff, gg라 하고, 두 점 A\mathrm{A}, B\mathrm{B}가 합성변환 g∘fg \circ f에 의하여 옮겨진 점을 각각 A′\mathrm{A}', B′\mathrm{B}'이라 하자. 선분 A′B′\mathrm{A}' B'이 yy축과 만나는 점을 C\mathrm{C}라 할 때, 삼각형 OA′B′\mathrm{OA}' B'의 넓이는 삼각형 OA′C\mathrm{OA}' C의 넓이의 kk배이다. 4k24 k ^{2}의 값을 구하시오. (단, O\mathrm{O}는 원점이다.) [4점]

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해설

[출제의도] 일차변환의 합성을 활용하여 문제해결하기 g∘fg \circ f에 의해 점 A(−2,0)\mathrm{A} \left( - 2 , 0 \right)은 점 A′(1,3)\displaystyle \mathrm{A}' \left( 1 , \sqrt{3} \right)으로, 점 B(−2,23)\displaystyle \mathrm{B} \left( - 2 , 2 \sqrt{3} \right)은 점 B′(−2,23)\displaystyle \mathrm{B}' \left( - 2 , 2 \sqrt{3} \right)으로 옮겨진다.

삼각형 OA′B′\mathrm{OA}' B'에서 OC‾\displaystyle {\overline{\mathrm{OC}}}는 ∠A′OB′\angle {\mathrm{A}' OB'}의 이등분선 이므로 A′C‾:CB′‾=OA′‾:OB′‾=1:2\displaystyle {\overline{\mathrm{A}' C}} : {\overline{\mathrm{CB}'}} = {\overline{\mathrm{OA}'}} : {\overline{\mathrm{OB}'}} = 1 : 2 ∴\therefore 삼각형 OA′B′\mathrm{OA}' B'의 넓이는 삼각형 OA′C\mathrm{OA}' C의 넓이의 33배이다. 따라서 4k2=364 k ^{2} = 36

태그

#회전변환#대칭변환#넓이비

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