대칭변환과 회전변환 합성

$g \circ f$는 $y = x$에 대한 대칭변환 후에 회전변환을 하는 합성변환이므로 $\displaystyle {\begin{pmatrix} \cos \theta & & - \sin \theta \\ \sin \theta & & \cos \theta \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ 1 & & 0 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}}$에서 $\displaystyle {\begin{pmatrix} - \sin \theta \\ \cos \theta \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} - \frac{1}{2} \\ \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}}$ $\displaystyle \therefore {\begin{cases} \sin \theta = \frac{1}{2} \\ \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases}}$ $\therefore \theta = 30 ^\circ$ 따라서, 점 $( 0 , 1 )$에서 점 $\displaystyle \left( - \frac{1}{2} , \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$으로 $30 ^\circ$회전이동하는 변환이 $g$가 된다.

일차변환 $f , g$를 나타내는 행렬을 각각 $X , Y$라 하고, $g \circ f$에 의해 점 $\displaystyle \left( \frac{1}{2} , - \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$으로 옮겨지는 점의 좌표를 $( a , b )$라 하면 $\displaystyle Y X {\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} \cos 30 ^\circ & & - \sin 30 ^\circ \\ \sin 30 ^\circ & & \cos 30 ^\circ \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 0 & & 1 \\ 1 & & 0 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}} = {\begin{pmatrix} \frac{1}{2} \\ - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix}}$ $\displaystyle - \frac{1}{2} a + \frac{\sqrt{3}}{2} b = \frac{1}{2} \cdots \text{①}$ $\frac{\sqrt{3}}{2} a + \frac{1}{2} b = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdots \text{ ②}$ ①, ②를 연립하여 풀면 $a = - 1 , b = 0$이므로 $( - 1 , 0 )$