충분조건과 부정

[출제의도] 이해능력-집합과 명제 두 조건 $p , q$의 진리집합을 각각 $P , Q$라 하면 $x ^{2} - 12 x + 20 = ( x - 2 ) ( x - 10 ) \leq 0$에서 $2 \leq x \leq 10$이므로 $P = \left\{ x | 2 \leq x \leq 10 \right\}$ 한편, $a \leq 0$이면 $Q = U$($U$는 실수 전체의 집합)이므로 $Q ^{C} = \emptyset$이고, $a > 0$이면 $\displaystyle Q = \left\{ x | x \leq - \sqrt{a} \text{또는} x \geq \sqrt{a} \right\}$ 이므로 $\displaystyle Q ^{C} = \left\{ x | - \sqrt{a} < x < \sqrt{a} \right\}$

$p$가 ~$q$이기 위한 충분조건이려면 $P \subset Q ^{C}$이어야 하므로 $\displaystyle \sqrt{a} > 10$, 즉 $a > 100$이어야 한다. 따라서 구하는 자연수 $a$의 최솟값은 101이다.