충분조건 최솟값

[출제의도] 충분조건이 되도록 하는 자연수의 최솟값을 구하는 문제를 해결한다. 두 조건 $p$, $q$에 대한 진리집합을 각각 $P , Q$라 하자. $p \rightarrow \sim q$가 참이면 이 명제의 대우인 $q \rightarrow \sim p$도 참이므로 $Q \subset P ^{C}$이어야 한다. $P = \left\{ x \left| \left| x \right| {\geq} a \right\} \right.$이므로 $P ^{C}$$= \left\{ x \left| \left| x \right| < a \right\} \right.$$= \left\{ x \left| - a < x < a \right\} \right.$ $Q$$= \left\{ x \left| x ( x - 3 ) \leq 0 \right\} \right.$$= \left\{ x \left| 0 \leq x \leq 3 \right\} \right.$ 그러므로 $\left\{ x \left| 0 \leq x \leq 3 \right\} \right. \subset \left\{ x \left| - a < x < a \right\} \right.$에서 $- a < 0$이고 $a > 3$이어야 하므로 $a > 3$ 따라서 자연수 $a$의 최솟값은 $4$ [다른 풀이] 두 조건 $p$, $q$에 대한 진리집합을 각각 $P , Q$라 하면 $P$$= \left\{ x \left| \left| x \right| \geq a \right\} \right.$$= \left\{ x \left| x {\leq} \mathit{-} a \right. \right.$ 또는 $\left. x {\geq} a \right\}$, $Q = \left\{ x \left| x ( x - 3 ) \leq 0 \right\} \right.$$= \left\{ x \left| 0 \leq x \leq 3 \right\} \right.$ $p$가 $\sim q$이기 위한 충분조건이면 $P {\subset} Q ^{C}$이어야 한다. $Q ^{C} = \left\{ x \left| x < 0 \right. \right.$ 또는 $x > 3 \}$에서 $- a < 0$이고 $a > 3$이어야 하므로 $a > 3$ 따라서 자연수 $a$의 최솟값은 $4$