축에 접하는 원

[출제의도] 원과 좌표축의 위치 관계를 이해하여 원의 방정식을 구한다. 원의 중심이 제${2}$사분면에 있고 원이 ${x}$축과 ${y}$축에 동시에 접하므로 원의 반지름의 길이를 ${r}$라 하면 중심의 좌표는 ${\left( - r , r \right)}$이다. 원의 중심이 곡선 ${y = x ^{2} - x - 1}$ 위에 있으므로 ${r = r ^{2} + r - 1}$, ${r ^{2} = 1}$ ${r > 0}$이므로 ${r = 1}$ 중심이 ${\left( - 1 , 1 \right)}$이고 반지름의 길이가 ${1}$인 원의 방정식은 ${\left( x + 1 \right) ^{2} + \left( y - 1 \right) ^{2} = 1}$ 즉, ${x ^{2} + y ^{2} + 2 x - 2 y + 1 = 0}$ ${a = 2}$, ${b = \mathit{-} 2}$, ${c = 1}$ 따라서 ${a + b + c}$${= 2 + ( - 2 ) + 1}$${= 1}$ [다른 풀이] 원 ${x ^{2} + y ^{2} + ax + by + c = 0}$의 중심을 ${\mathrm{A}}$라 하면 점 ${\mathrm{A}}$는 제${2}$사분면에 있고 원이 ${x}$축과 ${y}$축에 동시에 접하므로 점 ${\mathrm{A}}$는 직선 ${y = \mathit{-} x}$ 위에 있다. 또, 점 ${\mathrm{A}}$는 곡선 ${y = x ^{2} - x - 1}$ 위에 있으므로 ${x ^{2} - x - 1 = \mathit{-} x}$에서 ${x = 1}$ 또는 ${x = \mathit{-} 1}$ 점 ${\mathrm{A}}$의 ${x}$좌표는 음수이므로 ${\mathrm{A}}$${\left( - 1 , 1 \right)}$이다. 따라서 주어진 원의 방정식은 ${\left( x + 1 \right) ^{2} + \left( y - 1 \right) ^{2} = 1}$ 즉, ${x ^{2} + y ^{2} + 2 x - 2 y + 1 = 0}$ ${a = 2}$, ${b = \mathit{-} 2}$, ${c = 1}$ 따라서 ${a + b + c}$${= 2 + ( - 2 ) + 1}$${= 1}$