최솟값 함수와 불연속

[출제의도] 함수의 극한을 이용하여 함수의 연속성 문제 해결하기 (ⅰ) $t < 8$일 때, $\begin{aligned} f \left( x \right) & = x ^{2} - 18 x + 2 \left( x - t \right) + 80 = x ^{2} - 16 x - 2 t + 80 \end{aligned}$ $= \left( x - 8 \right) ^{2} - 2 t + 16$ 이므로 $8 \leq x \leq 10$에서 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 8$에서 최솟값 $f \left( 8 \right) = - 2 t + 16$을 갖는다. 따라서 $g \left( t \right) = - 2 t + 16$이다. (ⅱ) $8 \leq t < 10$일 때, (ㄱ) $x < t$인 경우 $f \left( x \right) = x ^{2} - 18 x - 2 \left( x - t \right) + 80$$= x ^{2} - 20 x + 2 t + 80$ $= \left( x - 10 \right) ^{2} + 2 t - 20$ (ㄴ) $x \geq t$인 경우 $f \left( x \right) = x ^{2} - 18 x + 2 \left( x - t \right) + 80$$= x ^{2} - 16 x - 2 t + 80$ $= \left( x - 8 \right) ^{2} - 2 t + 16$ (ㄱ), (ㄴ)에 의해 $\displaystyle f \left( x \right) = {\begin{cases} \left( x - 10 \right) ^{2} + 2 t - 20 & \left( 8 \leq x < t \right) \\ \left( x - 8 \right) ^{2} - 2 t + 16 & \left( t \leq x \leq 10 \right) \end{cases}}$ 이다. 이때 $8 \leq x \leq 10$에서 함수 $f \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$\left( x - 8 \right) ^{2} - 2 t + 16$ $\left( x - 10 \right) ^{2} + 2 t - 20$

함수 $f \left( x \right)$는 $x = t$에서 최솟값 $f \left( t \right) = \left( t - 9 \right) ^{2} - 1$을 갖는다. 따라서 $g \left( t \right) = \left( t - 9 \right) ^{2} - 1$이다. (ⅲ) $t \geq 10$일 때, $f \left( x \right) = x ^{2} - 18 x - 2 \left( x - t \right) + 80$ $= x ^{2} - 20 x + 2 t + 80$ $= \left( x - 10 \right) ^{2} + 2 t - 20$ 이므로 $8 \leq x \leq 10$에서 함수 $f \left( x \right)$는 $x = 10$에서 최솟값 $f \left( 10 \right) = 2 t - 20$을 갖는다. 따라서 $g \left( t \right) = 2 t - 20$이다. (ⅰ)~(ⅲ)에서 함수 $g \left( t \right)$는 $\displaystyle g \left( t \right) = {\begin{cases} \begin{matrix} - 2 t + 16 \\ \left( t - 9 \right) ^{2} - 1 \end{matrix} & \begin{matrix} \left( t < 8 \right) \\ \left( 8 \leq t < 10 \right) \end{matrix} \\ 2 t - 20 & \left( t \geq 10 \right) \end{cases}}$ 이고 함수 $g \left( t \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$\displaystyle \frac{15}{2}$ $\displaystyle \frac{21}{2}$ $g \left( t \right)$

① $g \left( t \right) = - 1$($t = 9$)일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ g \left( t \right) \right\} ^{2 n} = 1}$이므로 $\displaystyle h \left( t \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{1 + \left\{ g \left( t \right) \right\} ^{2 n}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}}$이다. ② $- 1 < g \left( t \right) < 1$($\displaystyle \frac{15}{2} < t < 9$또는 $\displaystyle 9 < t < \frac{21}{2}$)일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ g \left( t \right) \right\} ^{2 n} = 0}$이므로 $\displaystyle h \left( t \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{1 + \left\{ g \left( t \right) \right\} ^{2 n}} = \frac{1}{1 + 0} = 1}$이다. ③ $g \left( t \right) = 1$($\displaystyle t = \frac{15}{2}$ 또는 $\displaystyle t = \frac{21}{2}$)일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ g \left( t \right) \right\} ^{2 n} = 1}$이므로 $\displaystyle h \left( t \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{1 + \left\{ g \left( t \right) \right\} ^{2 n}} = \frac{1}{1 + 1} = \frac{1}{2}}$이다. ④ $g \left( t \right) > 1$($\displaystyle t < \frac{15}{2}$ 또는 $\displaystyle t > \frac{21}{2}$)일 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left\{ g \left( t \right) \right\} ^{2 n} = \infty}$이므로 $\displaystyle h \left( t \right) = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{1}{1 + \left\{ g \left( t \right) \right\} ^{2 n}} = 0}$이다. 그러므로 함수 $h \left( t \right)$의 그래프는 다음과 같다.

$h \left( t \right)$ $\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{15}{2}$ $\displaystyle \frac{21}{2}$

따라서 함수 $h \left( t \right)$는 $\displaystyle t = \frac{15}{2} , 9 , \frac{21}{2}$에서 불연속이므로 모든 $a$의 값의 합은 $\displaystyle 9 + \frac{15}{2} + \frac{21}{2} = 27$이다.