최고 자릿수가 같아지는 2ⁿ과 5ⁿ에 대한 참거짓

$2 ^{1} = 2$, $2 ^{2} = 4$, $2 ^{3} = 8$, $2 ^{4} = 16$, ⋯ $5 ^{1} = 5$, $5 ^{2} = 25$, $5 ^{3} = 125$, $5 ^{4} = 625$ ⋯ 이므로 자연수 $n$은 $4$보다 큰 자연수임을 알 수 있다. ㄱ. $2 ^{n}$의 최고 자리의 숫자가 $a$이고 $2 ^{n}$이 두 자리 이상의 자연수이므로 $a \cdot 10 ^{p} < 2 ^{n} < ( a + 1 ) \cdot 10 ^{p}$ ⋯⋯ ㉠ 을 만족하는 자연수 $p$가 존재한다. (참) ㄴ. $5 ^{n}$의 최고자리의 숫자가 $a$이고 $5 ^{n}$도 두 자리 이상의 자연수이므로 $a \cdot 10 ^{q} < 5 ^{n} < ( a + 1 ) \cdot 10 ^{q}$ ⋯⋯ ㉡ 을 만족하는 자연수 $q$가 존재한다. ㉠, ㉡에서 $a ^{2} 10 ^{p+q} < 2 ^{n} \cdot 5 ^{n} < ( a + 1 ) ^{2} 10 ^{p+q}$ 정리하면 $a ^{2} < 10 ^{n - p - q} < ( a + 1 ) ^{2}$ $n - p - q$는 자연수이므로 $r = n - p - q$라 하면 $a ^{2} < 10 ^{r} < ( a + 1 ) ^{2}$을 만족하는 자연수 $r$이 존재한다. ㄷ. $a$는 한 자리의 자연수이고 조건 ㄴ을 만족해야 하므로 $a = 3$ 이어야 한다. (∵ $3 ^{2} < 10 < 4 ^{2}$) (거짓) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다.