최댓값 조건 빈칸

[출제의도] 도함수의 성질을 활용하여 추론하기 함수 $f \left( x \right)$에서 $f' \left( x \right)$$= 6 kx ^{2} - 6 \left( 3 k + 1 \right) x + 18$ $= 6 \left( kx - 1 \right) \left( x - 3 \right)$ $\displaystyle = 6 k \left( x - \frac{1}{k} \right) \left( x - 3 \right)$ $\displaystyle \frac{1}{k} = 3$인 경우 $f' \left( x \right) = 2 \left( x - 3 \right) ^{2} \geq 0$이므로 함수 $f \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 증가한다. 따라서 $\displaystyle k = {\square {\frac{1}{{3} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}$인 경우를 제외하고 함수 $f \left( x \right)$는 실수전체의 집합에서 극댓값과 극솟값을 모두 가지므로 (ⅰ) $\displaystyle 0 < k \leq {\square {\frac{1}{{3} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}$일 때, $0 < x < 3$에서 $f' \left( x \right) > 0$이므로 함수 $f \left( x \right)$는 증가한다. 따라서 닫힌 구간 $[ 0 , 3 ]$에서 함수 $f \left( x \right)$의 최댓값이 $\left. f \left( 3 \right) = {\square {- 27 k + 25 _{} ^{}}} \right.$이다. 그러나 $\left. {\square {- 27 k + 25 _{} ^{}}} = 12 \right.$를 만족하는 $\displaystyle k = \frac{13}{27}$이므로 $\displaystyle 0 < k \leq {\square {\frac{1}{{3} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}$에 존재하지 않는다. (ⅱ) $\displaystyle k > {\square {\frac{1}{{3} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}$일 때, 닫힌 구간 $[ 0 , 3 ]$에서 함수 $f \left( x \right)$의 증가와 감소를 표로 나타내면 다음과 같다.

따라서 함수 $f \left( x \right)$는 $\displaystyle x = \frac{1}{k}$에서 극대이면서 최대이다. $\displaystyle f \left( \frac{1}{k} \right) = \frac{2}{k ^{2}} - \frac{3 \left( 3 k + 1 \right)}{k ^{2}} + \frac{18}{k} - 2 = 12$ $\left( 7 k - 1 \right) \left( 2 k - 1 \right) = 0$에서 $\displaystyle k > \frac{1}{3}$이므로 $\displaystyle k = \frac{1}{2}$ (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 함수 $f \left( x \right)$가 닫힌 구간 $\left[ 0 , 3 \right]$에서 최댓값 $12$를 가질 때, $\displaystyle k = {\square {\frac{1}{{2} _{} ^{{} ^{{} ^{}}}}}}$이다. (가), (다)에 알맞은 수는 각각 $\displaystyle a = \frac{1}{3}$, $\displaystyle b = \frac{1}{2}$ (나)에 알맞은 식은 $g \left( k \right) = \mathit{-} 27 k + 25$ 따라서 $\displaystyle \frac{g \left( a \right)}{b} = 32$