공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

최대공약수와 최소공배수

문제

최고차항의 계수가 $1$ 인 두 다항식 $A$ 와 $B$ 의 최대공약수가 $x ^{2} ( x + 1 )$ 이고 최소공배수가 $x ^{3} ( x + 1 )$ 일 때, 두 다항식의 곱 $AB$ 를 $( x + 1 ) ^{2}$ 으로 나눈 몫은? [3점] ① $x ^{3}$ ② $x ^{5}$ ③ $x + 1$ ④ $x ^{2} ( x + 1 ) ^{2}$ ⑤ $x ^{5} ( x + 1 )$

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②

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해설

[출제의도] 다항식의 최대공약수와 최소공배수를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. 두 다항식 $A$ 와 $B$ 의 최대공약수를 $G$ 라 하고, 두 다항식 $A$ 와 $B$ 의 최소공배수를 $L$ 이라고 하면 $AB = LG$ 이므로 $AB = ( x + 1 ) ^{2} x ^{5}$ 따라서 $AB$ 를 $( x + 1 ) ^{2}$ 으로 나눈 몫은 $x ^{5}$ 이다. [참고] 두 다항식 $A$ 와 $B$ 의 최대공약수를 $G$ 라 하면 서로소인 두 다항식 $a$ , $b$ 에 대하여 $A = aG$ , $B = bG$ 라고 할 수 있다. 이때, 두 다항식의 곱 $AB$ 는 $AB = abGG$ 이고 최소공배수 $L$ 은 $L = abG$ 이므로 $AB = LG$ 이다.

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