공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

최대공약수와 최소공배수

문제

이차항의 계수가 11인 세 이차식 P(x)P ( x ), Q(x)Q ( x ), R(x)R ( x )가 다음 조건을 만족한다.

(가) P(x)P ( x ), Q(x)Q ( x )의 최대공약수는 x−1x - 1이다. (나) Q(x)Q ( x ), R(x)R ( x )의 최소공배수는 (x−1)(x+2)(x+3)( x - 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 )이다. (다) P(x)R(x)=x(x−1)(x+2)(x+3)P ( x ) R ( x ) = x ( x - 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 )

R(x)R ( x )를 x−1x - 1로 나눈 나머지는? [4점] ①00②33③44④66⑤1212

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⑤

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해설

[출제의도] 최대공약수와 최소공배수를 이해하여 조건을 만족시키는 다항식을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. (가)에서 P(x)P ( x )는 x−1x - 1을 인수로 갖는다. (다)에서 P(x)R(x)P ( x ) R ( x )는 사차식이고 완전제곱식이 없으므로 두 다항식 P(x)P ( x ), R(x)R ( x )는 서로소이다. 그러므로 R(x)R ( x )는 x−1x - 1을 인수로 갖지 않는다. (나)에서 R(x)R ( x )는 (x−1)(x+2)(x+3)( x - 1 ) ( x + 2 ) ( x + 3 )의 약수이다. ∴ R(x)=(x+2)(x+3)R ( x ) = ( x + 2 ) ( x + 3 ) R(x)R ( x )를 x−1x - 1로 나눈 나머지는 R(1)=(1+2)(1+3)=12R ( 1 ) = ( 1 + 2 ) ( 1 + 3 ) = 12 따라서 구하는 나머지는 1212이다.

태그

#최대공약수#최소공배수

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