대수등차수열과 등비수열수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

최대공약수 그림 등비수열

문제

두 자연수 mm과 nn의 최대공약수를 pp, 최소공배수를 qq라 할 때, 이런 관계를 만족시키는 수를 [그림 11]과 같이 나타내기로 하자. [그림 22]는 [그림 11]의 관계를 만족시키도록 수를 연결하여 나타낸 것이다. 세 자연수 ee, 1212, ff가 이 순서대로 등비수열을 이룰 때, e+fe + f의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[그림 2] 에서 bb는 3과 1의 최소공배수이므로 3 cc는 1과 4의 최소공배수이므로 4 따라서ee는 12와의 최대공약수가 3이므로e=3ke = 3 k(단kk는 자연수 ) 라 하면kk는 4와 서로소이다. 또한ff는 12와의 최대공약수가 4이므로f=4lf = 4 l(단ll은 자연수 ) 라 하면ll는 3과 서로소이다. 한편e,12,fe , 12 , f가 이 순서대로 등비수열을 이루므로 122=ef=12kl12 ^{2} = ef = 12 kl ∴kl=12\therefore kl = 12 이 때 k,lk , l은 각각 4, 3 과 서로소인 자연수이므로 k=3,l=4k = 3 , l = 4임을 알 수 있다. ∴e+f=9+16=25\therefore e + f = 9 + 16 = 25

태그

#등비중항#최대공약수

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