공통수학1나머지정리와 인수분해수능 기출기본 문제 (3점 중반)

최대공약수 최소공배수

문제

최고차항의 계수가 11인 두 이차식 A,BA , B의 최대공약수가 x−1x - 1이고 등식 xA=(x+1)Bx A = ( x + 1 ) B가 항상 성립할 때, 옳은 내용을 <보기>에서 모두 고른 것은? [3점]

< 보 기 >
ㄱ. A=x2−1A = x ^{2} - 1이다. ㄴ. A,BA , B의 최소공배수는 x3−x2x ^{3} - x ^{2}이다. ㄷ. AB=x(x+1)(x−1)2AB = x ( x + 1 ) ( x - 1 ) ^{2}이다.

①ㄱ②ㄴ③ㄱ, ㄴ④ㄱ, ㄷ⑤ㄱ, ㄴ, ㄷ

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④

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해설

[출제의도] 최대공약수와 최소공배수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. A,BA , B의 최대공약수가 x−1x - 1이므로 A=a(x−1),B=b(x−1)A = a ( x - 1 ) , B = b ( x - 1 )(단, a,ba , b는 서로소인 일차식)이라 놓을 수 있다. xA=(x+1)Bx A = ( x + 1 ) B에서 ax(x−1)=b(x+1)(x−1)ax ( x - 1 ) = b ( x + 1 ) ( x - 1 ) ∴ a=x+1,b=xa = x + 1 , b = x ㄱ. A=(x+1)(x−1)=x2−1A = ( x + 1 ) ( x - 1 ) = x ^{2} - 1이다. ㄴ. A,BA , B의 최소공배수는 x(x−1)(x+1)=x3−xx ( x - 1 ) ( x + 1 ) = x ^{3} - x이다. ㄷ. B=x(x−1)B = x ( x - 1 )이므로 AB=x(x+1)(x−1)2A B = x ( x + 1 ) ( x - 1 ) ^{2}이다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.

태그

#최대공약수#최소공배수#보기

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