최대최소 합 함수

[출제의도] 이차함수의 그래프와 직선의 위치관계를 활용한 문제해결하기 $f \left( x \right)$$= x ^{2} - 4 tx + 10 t$$= \left( x - 2 t \right) ^{2} - 4 t ^{2} + 10 t$ (ⅰ) $t \leq 2 t \leq t + 3$ 즉, $0 \leq t \leq 3$일 때 함수 $y$$= f \left( x \right)$의 최솟값은 $x$$= 2 t$에서 $- 4 t ^{2} + 10 t$ ⅰ) $2 t - t \leq t + 3 - 2 t$ 즉, $\displaystyle 0 \leq t \leq \frac{3}{2}$일 때 함수 $y$$= f \left( x \right)$의 최댓값은 $x$$= t + 3$에서 $- 3 t ^{2} + 4 t + 9$ 따라서 $g \left( t \right)$$= \mathit{-} 7 t ^{2} + 14 t + 9$ ⅱ) $2 t - t > t + 3 - 2 t$ 즉, $\displaystyle \frac{3}{2} < t \leq 3$일 때 함수 $y$$= f \left( x \right)$의 최댓값은 $x$$= t$에서 $- 3 t ^{2} + 10 t$ 따라서 $g \left( t \right)$$= \mathit{-} 7 t ^{2} + 10 t$ (ⅱ) $2 t > t + 3$ 즉, $t > 3$일 때 함수 $y$$= f \left( x \right)$의 최솟값은 $x$$= t + 3$에서 $- 3 t ^{2} + 4 t + 9$ 함수 $y$$= f \left( x \right)$의 최댓값은 $x$$= t$에서 $- 3 t ^{2} + 10 t$ 따라서 $g \left( t \right)$$= - 6 t ^{2} + 14 t + 9$ (ⅰ), (ⅱ)에서 $g \left( t \right) = {\begin{cases} - 7 t ^{2} + 14 t + 9 \left( 0 \leq t \leq \frac{3}{2} \right) & \cdots \cdots \text{①} \\ \begin{aligned} - 7 t ^{2} + 20 t \left( \frac{3}{2} < t \leq 3 \right) \\ - 6 t ^{2} + 14 t + 9 \left( t > 3 \right) \end{aligned} & \begin{matrix} \cdots \cdots \text{ ②} \\ \begin{aligned} \\ \cdots \cdots \text{ ③} \end{aligned} \end{matrix} \end{cases}}$

함수 $y$$= g \left( t \right)$의 그래프와 직선 $y$$= \mathit{-} 4 t + a$가 만나는 서로 다른 점의 개수가 $3$이려면 직선 $y$$= \mathit{-} 4 t + a$가 점 $\displaystyle \left( \frac{3}{2} , \frac{57}{4} \right)$을 지날 때이므로 $\displaystyle \frac{57}{4}$$= \mathit{-} 6 + a$, $a$$\displaystyle = \frac{81}{4}$ $\cdots \cdots$ ㉠ 또한 함수 $g \left( t \right)$$= \mathit{-} 7 t ^{2} + 14 t + 9$ $\displaystyle \left( 0 \leq t \leq \frac{3}{2} \right)$의 그래프와 직선 $y$$= \mathit{-} 4 t + a$가 접하는 $a$의 값은 $\mathit{-} 7 t ^{2} + 14 t + 9$$= \mathit{-} 4 t + a$ $7 t ^{2} - 18 t + a - 9$$= 0$ $\cdots \cdots$ ㉡ ㉡의 판별식을 $D _{1}$이라 하면 $\displaystyle \frac{D _{1}}{4}$$= 81 - 7 a + 63$$= 0$, $a$$\displaystyle = \frac{144}{7}$ $\cdots \cdots$ ㉢ $\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.$ $\displaystyle 0 \leq t \leq \frac{3}{2}$에서 함수 $y$$= g \left( t \right)$의 그래프와 직선 $y$$\displaystyle = \mathit{-} 4 t + \frac{144}{7}$가 점 $\displaystyle \left( \frac{9}{7} , \frac{108}{7} \right)$에서 접한다. $\displaystyle \begin{matrix} \\ \end{matrix} )$ 함수 $g \left( t \right)$$= \mathit{-} 7 t ^{2} + 20 t$ $\displaystyle \left( \frac{3}{2} < t \leq 3 \right)$의 그래프와 직선 $y$$= \mathit{-} 4 t + a$가 접하는 $a$의 값은 $- 7 t ^{2} + 20 t$$= \mathit{-} 4 t + a$ $7 t ^{2} - 24 t + a$$= 0$ $\cdots \cdots$ ㉣ ㉣의 판별식을 $D _{2}$라 하면 $\displaystyle \frac{D _{2}}{4}$$= 144 - 7 a$$= 0$, $\displaystyle a = \frac{144}{7}$ $\cdots \cdots$ ㉤ $\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right.$ $\displaystyle \frac{3}{2} < t \leq 3$에서 함수 $y$$= g \left( t \right)$의 그래프와 직선 $y$$\displaystyle = \mathit{-} 4 t + \frac{144}{7}$가 점 $\displaystyle \left( \frac{12}{7} , \frac{96}{7} \right)$에서 접한다. $\displaystyle \begin{matrix} \\ \end{matrix} )$ 따라서 ㉠, ㉢, ㉤에서 방정식 $g \left( t \right)$$= \mathit{-} 4 t + a$의 서로 다른 실근의 개수가 $4$가 되도록 하는 모든 실수 $a$의 값의 범위는 $\displaystyle \frac{81}{4} < a < \frac{144}{7}$ $p$$\displaystyle = \frac{81}{4}$, $q$$\displaystyle = \frac{144}{7}$ 따라서 $4 p + 7 q$$= 225$