최대·최소 합 확률

$9$개의 공 중에서 $4$개의 공을 동시에 꺼내는 경우의 수는 $\displaystyle _{9} C _{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ 꺼낸 공에 적혀 있는 수 중 가장 큰 수를 $M$, 가장 작은 수를 $m$이라 하면 $7 \leq M + m \leq 9$를 만족하는 경우의 수는 다음과 같다. (i) $m = 1 , M = 6$일 때 $2 , 3 , 4 , 5$ 중에서 두 개를 택해야 하므로 $_{4} C _{2} = 6$ (가지) (ii) $m = 1 , M = 7$일 때 $2 , 3 , 4 , 5 , 6$ 중에서 두 개를 택해야 하므로 $_{5} C _{2} = 10$ (가지) (iii) $m = 1 , M = 8$일 때 $2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7$ 중에서 두 개를 택해야 하므로 $_{6} C _{2} = 15$ (가지) (iv) $m = 2 , M = 5$일 때 $3 , 4$ 중에서 두 개를 택해야 하므로 $_{2} C _{2} = 1$ (가지) (v) $m = 2 , M = 6$일 때 $3 , 4 , 5$ 중에서 두 개를 택해야 하므로 $_{3} C _{2} = 3$ (가지) (vi) $m = 2 , M = 7$일 때 $3 , 4 , 5 , 6$ 중에서 두 개를 택해야 하므로 $_{4} C _{2} = 6$ (가지) (vii) $m = 3 , M = 6$일 때 $4 , 5$ 중에서 두 개를 택해야 하므로 $_{2} C _{2} = 1$ (가지) 이상에서 주어진 조건을 만족하는 경우의 수는 $6 + 10 + 15 + 1 + 3 + 6 + 1 = 42$ (가지) 따라서 구하는 확률은 $\displaystyle \frac{42}{126} = \frac{1}{3}$