치역 조건 함수 개수

[출제의도] 중복조합의 수를 이용하여 함수의 개수를 구한다. 조건 (가)에서 함수 $f$의 치역에 속하는 집합 $X$의 원소 $3$개를 택하는 경우의 수는 $\displaystyle {} _{7} \mathrm{C} _{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}$$= 35$ …… ㉠ 치역에 속하는 $3$개의 수에 각각 대응하는 집합 $X$의 원소의 개수를 각각 $a$, $b$, $c$라 하고 조건 (나)를 만족시키려면 $a + b + c = 7$ ($a$, $b$, $c$는 자연수) $a' + 1 = a$, $b' + 1 = b$, $c' + 1 = c$로 놓으면 $a' + b' + c' = 4$ ($a'$, $b'$, $c'$은 음이 아닌 정수) 이때 순서쌍 $( a' , b' , c' )$의 개수는 ${} _{3} \mathrm{H} _{4} = _{6} \mathrm{C} _{4}$$= _{6} \mathrm{C} _{2}$$\displaystyle = \frac{6 \times 5}{2 \times 1}$$= 15$ …… ㉡ ㉠, ㉡에서 구하는 함수 $f$의 개수는 $35 \times 15 = 525$