치역 조건 함수 개수

합성함수 $f \circ f$의 치역은 함수 $f$의 치역의 부분집합이므로 $B \subset A$이고, 조건 (나)에서 $A - B = \left\{ 2 \right\}$이다. $n \left( A \right) = n \left( B \right) + 1$이므로 조건 (가)에서 $n \left( A \right) = 2 + 1 = 3$ $A = \left\{ 2 , a , b \right\}$, $B = \left\{ a , b \right\}$, $X - A = \left\{ c , d \right\}$라 하자. 두 수 $a$, $b$를 택하는 경우의 수는 $\mathit{_{4}} {\mathrm{C}} \mathit{_{2}} = 6$ $\left\{ f \left( 2 \right) , f \left( a \right) , f \left( b \right) \right\} = \left\{ a , b \right\}$이므로 $f \left( 2 \right)$, $f \left( a \right)$, $f \left( b \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $\displaystyle \mathit{_{2}} \prod _{3} - 2 = 2 ^{3} - 2 = 6$ $\left\{ f \left( c \right) , f \left( d \right) \right\} \subset \left\{ 2 , a , b \right\}$이고 $f \left( c \right) = 2$ 또는 $f \left( d \right) = 2$가 되도록 $f \left( c \right)$, $f \left( d \right)$의 값을 정하는 경우의 수는 $\displaystyle \mathit{_{3}} \prod _{2} - \mathit{_{2}} \prod _{2} = 3 ^{2} - 2 ^{2} = 5$ 따라서 구하는 함수 $f$의 개수는 $6 \times 6 \times 5 = 180$