미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

치환적분과 넓이

문제

연속함수 f(x)f ( x )의 그래프가 xx축과 만나는 세 점의 xx좌표는 00, 33, 44이다. 그림과 같이 곡선 y=f(x)y = f ( x )와 xx축으로 둘러싸인 두 부분 AA, BB의 넓이가 각각 66, 22일 때, ∫02f(2x)dx\displaystyle \int _{0} ^{2} {f ( 2 x ) dx}의 값은? [3점]

①22②44③66④88⑤1010

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①

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해설

[출제의도] 치환적분을 이해한다. 2x=t2 x = t라 하면 2=dtdx\displaystyle 2 = \frac{dt}{dx}이므로 ∫02f(2x)dx=12∫04f(t)dt\displaystyle \int _{0} ^{2} {f ( 2 x ) dx} = \frac{1}{2} \int _{0} ^{4} {} f ( t ) dt=12{∫03f(x)dx+∫34f(x)dx}\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ \int _{0} ^{3} {f ( x ) dx} + \int _{3} ^{4} {f ( x ) dx} \right\} =12{6+(−2)}=2\displaystyle = \frac{1}{2} \left\{ 6 + ( - 2 ) \right\} = 2

태그

#치환적분법#정적분과 넓이

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