치환적분

$\displaystyle \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} {\sin 2 x ( \sin x + 1 ) dx =} \int _{0} ^{\frac{\pi}{2}} {2 \sin x \cos x ( \sin x + 1 ) dx}$ $\sin x = t$로 치환하면 $\cos x dx = dt$ $x = 0$일 때 $t = 0$이고, $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$일 때 $t = 1$이므로 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {( 2 t ^{2} + 2 t ) dt}$$\displaystyle = \left[ \frac{2 t ^{3}}{3} + t ^{2} \right] _{0} ^{1} = \frac{5}{3}$