첫째항=공차 등차수열 급수

$a _{n} = an$(단, $a$는 첫째항이고 양수) $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k} = a \times \frac{n ( n + 1 )}{2}$ ㄱ. 수열 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \infty$ 이므로 거짓 ㄴ. 무한급수 $\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{\infty} \frac{1}{S _{n} =}$$\displaystyle \sum\limits _{k = 1} ^{\infty} \frac{2}{a} ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} )$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{2}{a} \left\{ ( 1 - \frac{1}{2} ) + ( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} ) + \cdots + ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1} ) \right\}} = \frac{2}{a}$ 따라서 수렴하므로 참. ㄷ. $\displaystyle \sqrt{S _{n+1}} - \sqrt{S _{n}} = \frac{S _{n+1} - S _{n}}{\sqrt{S _{n+1}} + \sqrt{S _{n}}}$ $\displaystyle = \frac{a ( n + 1 )}{\sqrt{{\frac{a}{2}} ( n + 1 ) ( n + 2 )} + \sqrt{{\frac{a}{2}} ( n ) ( n + 1 )}}$ $\displaystyle = \frac{a ( n + 1 )}{\sqrt{\frac{a}{2} ( n + 1 ) ( n + 2 )} + \sqrt{\frac{a}{2} ( n ) ( n + 1 )}}$ $\displaystyle \therefore \frac{\infty}{\infty}$꼴이므로 분모 분자를 최고차항 $n$으로 나누어 정리하면 주어진 식은 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \frac{a}{\sqrt{2 a}} = \frac{\sqrt{2 a}}{2}$이므로 존재한다. 따라서 참.