찬성 시민 수 기댓값

[출제의도] 기댓값의 정의를 이용하여 기댓값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\mathrm{i} )$ $X = 0$일 확률은 세 시민 모두가 반대하는 경우이므로 $\displaystyle \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{30}$ $\mathrm{ii} )$ $X = 1$일 확률은 세 시민 중 한 명만 찬성하는 경우이므로 $\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{9}{30}$ $\mathrm{iii} )$ $X = 2$일 확률은 세 시민 중 한 명만 반대하는 경우이므로 $\displaystyle \frac{1}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \times \frac{2}{5} \times \frac{1}{2} + \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{13}{30}$ $\mathrm{iv} )$ $X = 3$일 확률은 세 시민 3명 모두 찬성하는 경우 이므로 $\displaystyle \frac{2}{3} \times \frac{3}{5} \times \frac{1}{2} = \frac{6}{30} = \frac{1}{5}$ 따라서, 구하는 기댓값은 $\displaystyle 0 \times \frac{2}{30} + 1 \times \frac{9}{30} + 2 \times \frac{13}{30} + 3 \times \frac{6}{30} = \frac{53}{30}$