채널 용량 로그 공식

[출제의도] 로그의 성질을 이용하여 실생활 문제를 해결한다. 가용 대역폭이 $B$$( \mathrm{Hz} )$로 일정하고, 수신 신호 전력이 $1.2$$\mathrm{W}$일 때, 잡음 전력이 $0.4$$\mathrm{W}$인 채널 용량을 $C _{1}$$( \mathrm{b} ps )$이라 하면 $\displaystyle C _{1} = B \log _{2} \left( 1 + \frac{1.2}{0.4} \right) = B \log _{2} 4 = 2 B$ 가용 대역폭이 $B$$( \mathrm{Hz} )$로 일정하고, 수신 신호 전력이 $1.2$$\mathrm{W}$일 때, 잡음 전력이 $a$$( \mathrm{W} )$인 채널 용량을 $C _{2}$$( \mathrm{b} ps )$라 하면 $\displaystyle C _{2} = B \log _{2} \left( 1 + \frac{1.2}{a} \right)$ $C _{2} = 3 C _{1}$이므로 $\displaystyle B \log _{2} \left( 1 + \frac{1.2}{a} \right) = 3 \times 2 B$ $\displaystyle \log _{2} \left( 1 + \frac{1.2}{a} \right) = 6$ 로그의 정의에 의하여 $\displaystyle 1 + \frac{1.2}{a} = 2 ^{6}$ $\displaystyle \frac{1.2}{a} = 63$ ∴ $\displaystyle a = \frac{1.2}{63} = \frac{2}{105}$ $p = 105$, $q = 2$이므로 $p + q = 107$