분야별 책 선택

철학, 사회과학, 자연과학 분야에 해당하는 책은 반드시 선택해야 하므로 최소 $3$개 분야에서 최대 $5$개 분야에 해당하는 책을 선택할 수 있다. 철학, 사회과학, 자연과학 각각의 분야에서 선택한 책의 권수를 순서대로 $a , b , c$ ($a , b , c$는 $4$ 이상 $10$ 이하의 자연수)라 하자. ⅰ) $3$개 분야에 해당하는 책을 선택하는 경우 $a + b + c = 24$에서 $a = 4$일 때, $b + c = 20$을 만족시키는 순서쌍 $( b , c )$의 개수는 $1$ $a = 5$일 때, $b + c = 19$를 만족시키는 순서쌍 $( b , c )$의 개수는 $2$ ⋮ $a = 10$일 때, $b + c = 14$를 만족시키는 순서쌍 $( b , c )$의 개수는 $7$ 따라서 구하는 경우의 수는 $1 + 2 + \cdots + 7 = 28$ ⅱ) $4$개의 분야에 해당하는 책을 선택하는 경우 문학 또는 역사 분야 중 한 분야를 선택하는 경우의 수는 $2$이고 선택된 분야에서 선택한 책의 권수를 $d$($d$는 $4$ 이상 $10$ 이하의 자연수)라 하자. $a = a' + 4$, $b = b' + 4$, $c = c' + 4$, $d = d' + 4$ ($a' , b' , c' , d'$은 $6$ 이하의 음이 아닌 정수)라 하면 $a + b + c + d = 24$에서 $( a' + 4 ) + ( b' + 4 ) + ( c' + 4 ) + ( d' + 4 ) = 24$ $a' + b' + c' + d' = 8$ 방정식 $a' + b' + c' + d' = 8$을 만족시키는 $6$ 이하의 음이 아닌 정수 $a' , b' , c' , d'$의 모든 순서쌍 $( a' , b' , c' , d' )$의 개수는 서로 다른 $4$개에서 중복을 허용하여 $8$개를 택하는 중복조합의 수 ${} _{4} \mathrm{H} _{8} = _{11} C _{8} = _{11} C _{3} = 165$에서 $a' , b' , c' , d'$ 중 어느 하나의 값이 $7$인 경우의 수 ${} _{4} \mathrm{C} _{1} \times _{3} H _{1} = 12$와 $a' , b' , c' , d'$ 중 어느 하나의 값이 $8$인 경우의 수 $4$를 뺀 것과 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 $2 \times ( 165 - 12 - 4 ) = 298$ ⅲ) $5$개의 분야에 해당하는 책을 선택하는 경우 문학 분야와 역사 분야에서 선택한 책의 권수를 각각 $d , e$($d , e$는 $4$ 이상 $10$ 이하의 자연수)라 하자. $a = a' + 4$, $b = b' + 4$, $c = c' + 4$, $d = d' + 4$, $e' = e' + 4$ ($a' , b' , c' , d' , e'$은 $6$ 이하의 음이 아닌 정수)라 하면 $a + b + c + d + e = 24$에서 $( a' + 4 ) + ( b' + 4 ) + ( c' + 4 ) + ( d' + 4 ) + ( e' + 4 ) = 24$ $a' + b' + c' + d' + e' = 4$ 방정식 $a' + b' + c' + d' + e' = 4$를 만족시키는 $6$ 이하의 음이 아닌 정수 $a' , b' , c' , d' , e'$의 모든 순서쌍 $( a' , b' , c' , d' , e' )$의 개수는 서로 다른 $5$개에서 중복을 허용하여 $4$개를 택하는 중복조합의 수와 같다. 따라서 구하는 경우의 수는 ${} _{5} \mathrm{H} _{4} = _{8} C _{4} = 70$ 따라서 ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 구하는 경우의 수는 $28 + 298 + 70 = 396$