공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

분수함수의 역함수

문제

분수함수 f(x)=ax+bcx+d\displaystyle f ( x ) = \frac{ax + b}{cx + d}의 그래프가 다음 조건을 만족시킨다. ㈎ 원점을 지난다. ㈏ 점근선의 방정식은 x=1x = 1과 y=−2y = \mathit{-} 2이다.

이때, 함수 f(x)f ( x )의 역함수를 f−1(x)f ^{-1} ( x )라 할 때, f−1(−1)f ^{-1} ( - 1 )의 값은? ①−2- 2②−1- 1③00④11⑤22

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②

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해설

f(x)f ( x )가 분수함수이므로 c≠0c \ne 0 …… ㉠ f(x)=ax+bcx+d\displaystyle f ( x ) = \frac{ax + b}{cx + d}가 원점을 지나므로 b=0b = 0 …… ㉡ 또, f(x)f ( x )의 점근선의 방정식이 x=1x = 1, y=−2y = - 2이므로 −dc=1\displaystyle - \frac{d}{c} = 1, ac=−2\displaystyle \frac{a}{c} = - 2 ……㉢ ㉠, ㉡, ㉢에서 f(x)=−2xx−1\displaystyle f ( x ) = \frac{- 2 x}{x - 1} f−1(−1)=αf ^{-1} ( - 1 ) = \alpha라 하면 f(α)=−1f ( \alpha ) = - 1 f(α)=−2αα−1=−1\displaystyle f ( \alpha ) = - \frac{2 \alpha}{\alpha - 1} = - 1에서 α=−1\alpha = - 1

태그

#분수함수#점근선#역함수

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