미적분Ⅰ함수의 극한수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

분수함수 극한 조건

문제

삼차함수 f(x)=x3+x2+ax+bf ( x ) = x ^{3} + x ^{2} + ax + b와 최고차항의 계수가 1인 이차함수 g(x)g ( x )가 다음 조건을 만족시킬 때, g(0)g ( 0 )의 값은? (단, a,ba , b는 상수이다.) [4점] (가) g(−1)=0g ( - 1 ) = 0 (나) lim⁡x→−1f(x)g(x)=0,lim⁡x→3f(x)g(x)=43\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {} \frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 , \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} \frac{f ( x )}{g ( x )} = \frac{4}{3}

①3②4③5④6⑤7

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①

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해설

[출제의도] 함수의 극한 이해하기 (가)에서 g(x)=(x+1)(x−α)g ( x ) = ( x + 1 ) ( x - \alpha )(단, α\alpha는 상수) (나)에서 lim⁡x→−1g(x)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {} g ( x ) = 0이므로 lim⁡x→−1f(x)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {} f ( x ) = 0 (−1)+1−a+b=0,a=b( - 1 ) + 1 - a + b = 0 , a = b f(x)=x3+x2+ax+a=(x+1)(x2+a)f ( x ) = x ^{3} + x ^{2} + ax + a = ( x + 1 ) ( x ^{2} + a ) lim⁡x→−1f(x)g(x)=lim⁡x→−1(x+1)(x2+a)(x+1)(x−α)=lim⁡x→−1(x2+a)(x−α)=0\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {} \frac{f ( x )}{g ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {} \frac{( x + 1 ) ( x ^{2} + a )}{( x + 1 ) ( x - \alpha )} = \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {} \frac{( x ^{2} + a )}{( x - \alpha )} = 0 에서 lim⁡x→−1(x2+a)=0,1+a=0,a=−1\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow - 1} {} ( x ^{2} + a ) = 0 , 1 + a = 0 , a = - 1 f(x)=(x+1)(x2−1)=(x+1)2(x−1)f ( x ) = ( x + 1 ) ( x ^{2} - 1 ) = ( x + 1 ) ^{2} ( x - 1 ) lim⁡x→3f(x)g(x)=lim⁡x→3(x+1)2(x−1)(x+1)(x−α)\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} \frac{f ( x )}{g ( x )} = \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} \frac{( x + 1 ) ^{2} ( x - 1 )}{( x + 1 ) ( x - \alpha )} =lim⁡x→3(x+1)(x−1)x−α\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 3} {} \frac{( x + 1 ) ( x - 1 )}{x - \alpha} =83−α=43\displaystyle = \frac{8}{3 - \alpha} = \frac{4}{3} 에서 α=−3\alpha = - 3 그러므로 g(x)=(x+1)(x+3)g ( x ) = ( x + 1 ) ( x + 3 ) ∴g(0)=3\therefore g ( 0 ) = 3

태그

#극한#다항함수 결정

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